=100a2+10ab+100a-10ab+bc=100a（a+1）+bc如42×48=?,可以用十位数字乘以比 十位数字大1的数，即，4×5=20,再用两个数的个位数字相乘，即2×8=16,最后把两 个乘积写在一起，即：2016,即42×48=2016.
小档案
4个连数相乘再加1,就是一个完全平方数
4个相邻自然数中，设最小的1个是a,那么，我们就来研究下面的数究竟是不是一 个完全平方数：a（a+1）（a+2）（a+3）+1=a（a+3）（a+1）（a+2）+1=（a2+3a） （a2+3a+2）+1=（a2+3a）2+2（a2+3a）+1=（a2+3a+1）2.好了，a是一个自然数，（ a2+3a+1）2不就是个自然数的完全平方么？
24.屡战屡胜，布阵各异
二人对阵，其乐无穷，下二局完全相同的象棋其可能性极小，这是为什么？
下象棋开局的时候，一般变化不太多，但后来厮杀时，变化较多，一只车就可以 前后左右有十来种走法。所以，下一步棋有10种到20种变化也是完全可能的。如果双 方各走30步，那么变化也有1060即61位整数的数，所以一般说来，下棋，从头到尾完 全相同的棋局，其可能性是极小的。
小档案
0也是偶数
我们讨论奇偶数，一般是指自然数范围以内的，0不是自然数，不在其内。究竟 是偶数还是奇数，判断的标准很简单。凡是能被2整除的是偶数，不能被2整除的是奇 数。所谓整除就是说商数应该是整数，而且没有余数。显然，因为0÷2=0,商数是整 数0,所以0是偶数。
25.第四名怎样找
某学校举行数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学获得前五名，在公布成绩前，他 们五人预测名次的谈话如下：A说：B第三名，丙第五名；B说：E第四名，D第五名；C 说：A第一名，E第四名；D说：C第一名，B第二名；E说：A第三名，D第四名。如果每 个名次都有人猜对，请预测获得第四名的应是哪位同学？
分析：根据A、B、C、D、E五个同学预测的名次列表格如下图：
12345A说BCB说〖5〗EDC说A〖5〗ED说CBE说〖4〗AD
由表格可知：第二名可能是B,从而第三名是A,第一名是C,第五名是D,因此第四名 应是E.
利用图形或表格进行逻辑推理的方法叫做图表法。
26.数学家有感于“农妇卖蛋”
一农妇去市场卖鸡蛋，第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个；第二次又卖去剩下鸡 蛋的一半又半个；第三次卖去前两次卖后所剩下鸡蛋的一半又半个，最后又卖去所剩 下鸡蛋的一半又半个，这时鸡蛋恰好卖完，问农妇原有多少鸡蛋？
“农妇卖蛋”是一个经典问题。
许多数学爱好者对这个问题十分感兴趣，并给出了许多解答方法，但多数方法较 为繁琐。瑞士著名的数学家欧拉对这个问题给出了一个别具一格的解法：设第三次卖 完后所剩（第四次卖去）的鸡蛋，第二次卖完后所剩鸡蛋数应为：（3+0.5）×2=7（ 个），因此，农妇原有鸡蛋数为：（7+0.5）×2=15（个）
我们从欧拉对上述问题得到启发：有些数学问题，如果按正向思维去考虑问题， 有时难以入手或根本无法获解，但若能根据问题提供的条件，进行逆向思维去考虑， 则有获解的希望。欧拉解农妇卖蛋问题正是这种逆向思维方式的具体体现。
27.老鼠胜猫，人在作怪
有只老鼠，在圆形湖边碰到了猫，惊慌中跳进圆湖中，湖边上的D处有猫进不去 的石隙可以让老鼠藏身。猫在岸上跑的速度是老鼠在湖中游的速度的4倍，看来老鼠 无论游到何处上岸，猫都可以追捕到它，似乎老鼠是断无生机了，老鼠如何逃生？
分析：大圆内部表示圆湖，其半径为R,取R4为半径作一个同心圆S,让老鼠先游至 S圆，然后围圈游，猫在岸上沿大圆转。设CD是大圆的直径，CD与小圆交于E.现老鼠 应找到这样一个时机；当猫跑到C时，老鼠正好游到E的位置，然后沿ED方向游向湖岸 .因为ED的长等于34R,设老鼠的速度为V,则老鼠由E点到D点的时间为3R4V,但猫沿湖 岸到达E点所需的时间πR4V,而πR4V>3R4V,所以老鼠可以先上岸钻进岸边石隙逃生。
28.5法郎巧取1000法郎
亚历山大·大仲马是19世纪法国著名作家，但在世时生活却十分贫困，常常手无 分文。
一次偶然的机会，他急中生智索取1000法郎的酬金。大仲马怎样巧取酬金？
有一天，瓦利也杰剧院的经理找到大仲巴，愿意和他订一个合同，条件是：剧院 给大仲马1000法郎的酬金，要大仲马为剧院写一个剧本，在前25场演出后，必须使剧 院获得60000法郎的利润。于是双方在合同书上签了字。
很快，大仲马就把剧本写好了，演出时场场暴满，获得了很大的成功。当演到第 25场时大仲马便来到剧院找经理索取1000法郎的酬金。
经理见大仲马来了，不屑一顾地说：“您很不走运啊，大仲马先生！我们刚刚结 算完25场演出所获得的利润，仅仅收了59997法郎。……”
大仲马听后，心理很不是滋味，稍稍思考了片刻，一言不发，直奔售票处，花35 法郎买了一张门票，随即又迅速走进经理室：“经理先生，现在你剧院的收入已经是 60002法郎了。”他一边说，一边向经理扬着手中的门票。
这位经理先是一楞，转而惊叹大仲马的应变能力，这里的计算并不复杂，可却帮 了大仲马的忙，经理无可奈何，只好将1000法郎的酬金如数付给了他。
29.问羊有几何
百羊问题是出自中国古代算书《算法统宗》中的一道题。
什么是百羊问题？
这个问题说的是：“牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧。
有一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来。他对牧羊人说：”你赶来的这群羊 大概有一百只吧？“牧羊人答道：”如果这一群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一 半，又加上原来这群羊的四分之一，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百 只。“谁能知道牧羊人放牧的这群羊一共有几只？
根据题意，我们可设这群羊共有x只，则
x+x+12x+14x+1=100,解这个方程得：X=36,也就是牧羊人放牧的这群羊共有36只 .
第30.佛掌上的”明珠“
印度是个信奉佛教的国度，古印度人对数学的贡献被称为佛掌上的”明珠“.
在公元前3世纪，印度出现了数的记号。在公元200年到1200年之间，古印度人就 知道了数字符号和0符号的应用，这些符号在某些情况下与现在的数字很相似。此后 ,印度数学引进十进位制的数字和确立数字的位值制，大大简化了数的运算，并使记 数法更加明确。如古巴比伦的小记号既可以表示1,也可以表示1/60,而在印度人那 里符号1只能表示1个单位，若表示十、百等，须在1的后面写上相应个数的0,现代人 就是这样来记数的。
印度人很早就会用负数来表示欠债和反方向运动。他们还接受了无理数概念，在 实际计算中把适用于有理数的运算步骤用到无理数中去。
小档案
阿拉伯人对古代数学的贡献，是现在人们最熟悉的1、2…9、0十个数字，称为阿 拉伯数字。但是，在数学发展过程中，阿拉伯人主要是吸收、保存了希腊和印度的数 字，并将它传给欧洲，架起了一座”数学之桥“.
在算术上，阿拉伯人采用和改进了印度的数字记号和进位记法，也采用了印度的 无理数运算，但放弃了负数的运算。代数这门学科的名称就是由阿拉伯人发明的。阿 拉伯人还解出一些一次、二次方程，甚至三次方程，并且用几何图形来解释它们的解 法。
31.神奇的生日组合
爱因斯坦出生在1879年3月14日。把这些数字连在一起，就成了1879314.重新排 列这些数字，任意构成一个不同的数（例如3714819），在这两个数中，用大的减去 小的（在这个例子中就是3714819-1879314=1835505），得到一个差数。把差数的各 个数字加起来，如果是二位数，就再把它的两个数字加起来，最后的结果是9（即 1+8+3+5+5+0+5=27,2+7=9）。
哥白尼的生日是1473年2月19日，牛顿的生日是1642年12月25日，高斯出生于 1777年4月30日，居里夫人出生于1867年11月7日，只要按照上面的方法去计算，最后 一定都得到9.实际上，把任何人的生日写出来，做同样的计算，最后得到的都是9.
32.为神秘的”天外来客“祝福
相传毕达哥拉斯发现毕达哥拉斯定理以后，高兴得不得了，宰了100头牛大肆庆 贺了许多天。
说来有趣，正是这个让他欣喜若狂的定理，后来又使他狼狈万分，几乎无地自容 .
毕达哥拉斯错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为整数或者整数的比； 除此之外，就不再有别的什么东西了。
问题就出在这里。有一天，毕达哥拉斯的学生希伯斯，在世界上找到了一种既不 是整数，又不是整数之比的怪东西。
根据毕达哥拉斯定理，希伯斯算出边长为1的正方形的对角线的长度等于2.可是 ,2既不是整数，也不是整数的比。他惶惑极了：根据老师的看法，2应该是世界上根 本不存在的东西呀？
希伯斯把这件事告诉了老师。毕达哥拉斯惊骇极了，他做梦也没想到，自己最为 得意的一项发明，竟招来一位神秘的”天外来客“.
毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认2是一种新的数，因为他的全部” 宇宙“理论，都奠基在整数的基础上。他下令封锁消息，不准希伯斯再谈论2,并且警 告说，不要忘记了入学时立下的誓言。
小档案
毕达哥拉斯定理的内容是：在直角三角形里，两条直角边的平方和，一定等于斜 边的平方。这是几何学里一个非常重要的定理。
33.看谁得的金币多
一天，一个外星人来到了地球，他的名字叫欧米加。他可以十分准确地预言每一 个人在面临”两个里挑一个“时会选择哪一个。
欧米加用两个大箱子检验了很多人。箱子A是透明的，总是装着100个金币；箱子 B不透明，它要么装着10000个金币，要么空着。他告诉每个受试者，有两种选择，一 种是拿走两个箱子，可以获得其中的东西。可是，当我预计你这样做时，我就让箱子 B空着，你就只能得到100个金币。另一种选择是只拿一个箱子B.如果我预计你这样做 时，我就放进箱子中10000个金币，你能全部得到它。
一个男孩子决定只拿箱子B,他的理由是，我已看见欧米加尝试了许多次，每次他 都预计对了。凡是拿两个箱子的人都只能得到100个金币，所以我只拿箱子B,就可以 得到10000个金币。
一个女孩子决定拿两个箱子，她的理由是，欧米加已经做完了他的预言，并且已 经离开了，箱子不会再变了。如果是空的，它还是空的，如果它是有金币的，它就仍 然有。所以：如果B中有金币，她只拿B,可得到10000个金币；两个都拿，可得10100 个金币。如果B箱空着，她只拿B,就什么也得不到；两个都拿，就至少可得100个金币 .因此，在每种情况下，她拿两个箱子都比拿一个箱子多得100个金币。
两种看法当然不可能都对。哪一种错了？为什么？这个由美国物理学家W·纽科 姆提出的悖论，至今还没有解决。
难拿的箱子
34.以”规“”矩“度天下之方圆
在山东省嘉祥县一座古代建筑的石室造像中，有两位古代神话中我们远古祖先的 形象，一位叫伏羲，一位叫女娲。伏羲手中的物体就是规，它呈两脚状，与现在的圆 规相似；女娲手中的物体叫做矩，它呈直角拐尺形。
原来，规就是画圆用的圆规，矩就是折成直角的曲尺。矩由长短两把尺合成，短 尺叫勾，长尺叫股，可以用来画直线或者作直角。
我国古代有位叫商高的数学家，曾详细介绍了用矩的方法。他说：
”把矩平放在地上，可以定出绳子的垂直；把矩竖立起来，可以测量物体的高度 ;把矩倒立过来，可以测量物体的深度；把矩平卧在地上，可以测量两地之间的距离 .矩旋转一周，就形成了一个圆形，两个矩合拢起来，就形成了一个方形。“墨子说 过：”造车的工匠“执其规矩，以度天下之方圆”;孟子说过：即使是离娄那样眼光 锐利的人，即使是鲁班那样心灵手巧的工匠，“不以规矩，不能成方圆”.
35.丢番图的墓志铭
被称为代数学之父的古希腊数学家丢番图的墓碑上刻着一首诗，既代表了他的生 平，又是对他的最好纪念。
墓中
长眠着一个伟大的人物
--丢番图！
他一生的六分之一时光，
是童年时代；
又度过了十二分之一岁月后，
他满脸长出了胡须；
再过了七分之一年月时，
举行了花烛盛典；
婚后五年，
得一贵子。
可是不幸的孩子，
他仅仅活了父亲的半生时光，
就离开了人间。
从此，作为父亲的丢番图，
在悲伤中度过四年后，
结束了自己的一生。
假设这位数学家的寿命为x岁，则：
x=16x+112x+17x+5+12x+4
得x=84,因此，丢番图是33岁结婚，38岁得子，儿子寿命为42岁，在丢番图80岁 时去世，他自己终年84岁。
36.日神显灵难倒柏拉图
传说在公元前4世纪，古希腊的雅典流行一种病疫，为了消除灾难，雅典人向日 神求助。日神说：“如果要使病疫不流行，除非把我殿前的立方体香案的体积扩大一 倍。”这个条件使雅典人很高兴，他们认为这是容易做到的，于是把旧香案的各棱放 大一倍，做了一个新的立方体香案。然而疫势反而更加猖獗。当雅典人再去祈祷日神 时，他们才知道新香案的体积并不是旧香案的两倍。这就难住了当时的人们，连最有 名的学者柏拉图也感到无能为力。
这就是几何作图中著名的倍立方体问题。用数学语言来表达，就是：“已知一立 方体，求作另一立方体，使它的体积等于已知立方体的两倍。”这一问题与三等分角 问题、化圆为方问题，构成了初等几何作图中的三大作图不能问题。
这个问题之所以不能解决，是因为当时的条件下作图时只能使用圆规和无刻度的 直尺。直尺只能用来“过两点作直线或延长线段”.圆规只能作圆或画弧。而且任何 作图题中只能有限次地使用直尺和圆规，这一规定一直延续至今，利用直尺、圆规可 以作三种基本图形：画线、作圆、求交点。凡是能由这三种基本技术经过有限次复合 而成的图形才算是用直尺和圆规作图，否则就是作图不能问题。倍立方体问题就是如 此。
37.拿破仑向法国数学家挑战
尺规作图特有的魅力，使无数的人沉湎其中，乐而忘返。连拿破仑这样一位威震 欧洲的风云人物，在转战南北的余暇，也常常沉醉于尺规作图的乐趣中。有一次，他 还编了一道尺规作图题，向全法国数学家挑战呢。
拿破仑出的题目是：“只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分。”
由于圆心O是已知的，求出这个题目的答案并不难。
