无穷级数S＝1—1+1—1+1……到底等于什么？当时人们认为一方面S＝（1—1）+（1—1）+……＝0；另一方面，S＝1+（1—1）+（1—1）+……＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被的后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。且如果用S代表级数之和，有S＝1—（1—1+1—1+…）或S=（1—S），因此S＝1/2！
由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当时分析中任何一个比较细致的问题，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性……都几乎无人过问。尤其到19世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样，消除不谐和音，把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。重建微积分基础18世纪富有成果然而欠严谨的工作，导致数学中出现了暂时的混乱局面。到19世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。
使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1820年研究了极限定义，并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的系统的证明，使微积分学有了较坚实的理论基础，同时柯西也因之成为加固微积分学基础的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在着两点主要的不足。其一，他的极限定义用了描述性语言“无限的趋近”“随意小”，不够精确。这一点由德国数学家魏尔斯特拉斯给出精确描述数列极限的“ε—δ”方法和函数极限的“ε—δ”方法，把微积分奠基于算术概念的基础上，获得了圆满解决。其二，他对单调有界定理的证明借助了几何直觉。魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于70年代各自建立了自己完整的实数体系，这样数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。康托尔的不朽功绩：向无限冒险迈进19世纪，由于众多杰出数学家的努力，微积分工具被改进为严格的分析体系。同时由于严格追问微积分的逻辑，德国数学家康托尔把无穷集合引入词汇，从而发现了无穷集这一数学新词汇，开辟出一个广大而又从未人知的世界。
康托尔以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之一。他从研究“收敛的傅立叶级数所表示的函数存在不连续”这一事实，提出无穷集合的概念，并以一一对应关系为基本原则，寻求无穷集合的“多少”关系。他把两个能一一对应的集合称为同势，利用势他将无限集进行了分类，最小的无限集为可数集a，即指与自然数集等势的无穷集。进一步，康托尔证明实数集的势c>a，一切实函数的势f>c，并且对任何一个集合，均可造出一个具有更大势的集合，即是说没有最大的势。鉴于此，1896年康托尔根据无穷性有无穷多学说，制订了无限大算术，对各种无穷大建立了一个完整序列，他用希伯来字母表中第一个字母阿列夫来表示这些数。于是，直至无穷。无穷集合自身又构成了一个无穷序列。所谓楼外有楼，天外有天了。这就是康托尔创立了超限数理论。康托尔的工作，在发表之初遭到许多人的嘲笑与攻击。克罗内克有句名言：上帝创造了自然数，其他都是人为的。他完全否认并攻击康托尔的工作，称“康托尔走进了超限数的地狱”，更有人嘲笑康托尔关于无穷的等级的超限数理论纯粹为“雾中之雾。前后经过20余年，康托的工作才最终获世界公认，并赢得极大赞誉。”罗素称赞说：“康托尔的工作可能是这个时代所能夸耀的最伟大的成就。”希尔伯特称其超限理论为“数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类智力的最美的表现之一。”康托集合论的提出标志了近代数学的开端。他的观点中，无穷集合是被看作一个现实的，完成的，存在着的整体，是可认识，可抓住的东西。他的无穷集合理论令世人耳目一新。中途的辉煌。
极限理论、实数理论使微积分学建立在严格的逻辑基础之上，而实数论又可在自然数论和无穷集合论的基础上发展起来，进一步自然数论完全可在集合论中推出。这样一来，实数论的融贯性就归于集合论的融贯性，归结到集合论，看来数学绝对严格的目的要达到了。1900年在世界数学家大会上，著名数学家庞加莱郑重宣布：“现在我们可以说，数学最终的严格性基础已经确立了。”表达了数学家们欣欣自得的共同心情。尤其通过康托尔的工作，数学家们找到了营造数学大厦的基石：集合论。而他的无穷集合，也就成了数学家们的伊甸园。这样，从微积分诞生之日起，数学家们历经200多年的艰苦努力，终于迎来了辉煌的胜利。一波三折：罗素悖论的提出及解决正当数学家们在无穷集合的伊甸园中优哉游哉，并陶醉于数学绝对严格性的时候，一个惊人的消息迅速传遍了数学界。
“集合论是有漏洞的！”这就是1902年罗素得出的结论。
罗素构造了一个集合U，U由所有不属于自身的集合组成，U显然存在，但U是否属于自身呢？无论回答是否都将导致矛盾，这就是著名的罗素悖论。罗素悖论相当简明，以致几乎没有什么可以辩驳的余地，然而它却动摇了整个数学大厦的基石：集合论。
“绝对严密”、“天衣无缝”的数学，又一次陷入了自相矛盾与巨大裂缝的危机之中。原本已平静的数学水面，因罗素悖论的投入，又一石激起千重浪，令数学家们震惊之余有些惊慌失措，这就导致了数学史上所谓的“第三次数学危机。”
危机是由康托尔研究的无限集合引发的。危机产生后，包括罗素本人在内的众多数学家投入到解决危机的工作中去。1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统，使原本直观的集合概念建立在严格的公理基础之上，从而避免了罗素悖论的产生，在表层上解决了第三次数学危机。
柳暗花明又一村：无穷小重返数学舞台17世纪下半叶，牛顿、莱布尼兹创立的微积分学，用了无穷小量的概念，但因对其解释含糊不清，出现了贝克莱悖论，导致数学史上的“第二次数学危机”，19世纪，柯西、维尔斯特拉期等人引入极限论、实数论，使微积分理论严格化，从而避免了贝克莱悖论，圆满解决了第二次数学危机。然而与此同时，极限方法代替了无限小量方法。无穷小量作为“消失了量的幽魂”被排斥在数学殿堂之外了。
1960年，美国数理逻辑学家鲁滨逊指出：现代数理逻辑的概念和方法为“无限小”、“无限大”作为“数”进入微积分提供了合适的框架，无穷小量堂而皇之地重返数坛，成为逻辑上站得住脚的数学中的一员，被认为是“复活了的无穷小”。这样微积分创立300年后，第一个严格的无穷小理论才发展起来。回顾微积分学发展的历史，无穷小分析法——极限方法——无穷小分析法，否定之否定，微积分学基础获得了进一步发展。实无限、潜无限认真考察无穷在数学中的发展历程，可以注意到在数学无穷思想中一直存在着两种观念：实无限思想与潜无限思想。所谓潜无限思想是指：“把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。把无限看作为永远在延伸着的（即不断在创造着的永远完成不了的）过程。所谓实无限思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。数学中无限的历史实际上是两者在数学中合理性的历史。”
亚里士多德只承认潜无限，使其在古希腊数学中占统治地位。文艺复兴时期后，实无限在数学中统治了三个世纪。17世纪下半叶，牛顿、莱布尼兹创立的微积分学也是以实无限小为基础的，在其理论中，无穷小量被看作一个实体，一个对象，正因此，早期微积分又被称之为“无穷小分析”。这种以实无限思想为据的理论在其产生后的一个世纪被广大数学家所使用，因而使这段时期成为实无限黄金时期。微积分被形容为一支关于“无穷的交响乐”。但由于当时人们对无穷小量概念认识模糊，导致产生了贝克莱悖论及一系列荒谬结果。在高斯时代，实无限已开始被抛弃了，尤其到了18世纪末至19世纪约百年时间中，随着重建微积分基础工作的完成，无穷小量被拒之于数学大厦之外，无穷小被看作实体的观念在数学分析中亦被驱除了，而代之以“无穷是一个逼近的目标，可逐步逼近却永远达不到”的潜无限观念。这种思想突出表现中现在标准分析中关于极限的定义中，并由此建立起了具有相当牢固基础的微积分理论，使得潜无限思想在这段时期深入人心。然而，到20世纪60年代，鲁滨逊创立的非标准分析，使无穷小量再现光辉，荣归故里，重新堂而皇之地登进数学的殿堂，而可与柯西的极限分庭抗衡了。尤其，在康托尔的无穷集合论中，体现的也是“无穷集合是一个现实的、完成的存在着的整体”的实无限思想，这就足以使得实无限思想可与潜无限思想形成“双峰对峙”“炮马争雄”的局面了。
那么，无穷到底是实无限，抑或是潜无限呢？两种无穷思想在数学上经历过“江山代有才人出，各领风骚数百年”的此消彼长与往复更迭后，已在现代数学中日趋合流，实际上现在数学中早已是既离不开实无限思想也离不开潜无限思想了。标准分析与非标准分析的使用表明：用两种不同的无穷思想为据，采取不同的方式却可以得出完全相同的结果。这殊途同归的结局，意味着两种无穷思想可以避开“两虎相争，必有一伤”而走向“平分秋色，辉映成趣”了。
当我们上升到哲学高度时，可能会获得对两者关系的更清楚认识。
辩证法告诉我们，要从整体，从两方面看问题。如同我们所熟悉的“金银盾”的故事那样，看到金一面的说是金盾，见到银一面的说是银盾，而实际上对盾的认识应是“一面是金，一面是银”，数学家们对无穷的认识亦相仿。看到无穷实在性一方面的说无穷是实无穷，见到无穷潜在性一面说无穷是潜无限，但对无穷的认识只能是“无穷既是实无限，又是潜无限”，无穷本身就是一个矛盾体，它既是一个虚无限趋近的过程，又是一个实体，一个可研究的对象。在这一矛盾体中，矛盾的一方是实无限，另一方是潜无限而无穷正是这矛盾双方的对立统一。事物并非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。潜无限作为矛盾体的一面，是对有穷的直接否定，而实无限作为矛盾体的另一面则是对潜无限的否定，是否定之否定。诚如徐利亚教授提出的无穷双相性理论：实无限、潜无限只是一枚硬币的两面罢了。——这倒并非是哲学的玄奥思辨，而是辩证法为我们上的生动一课。
“数学是研究无穷的学科。”数学与无穷确实有着不解之缘。认识论说，人的认识总是由具体到抽象，而这一认识过程从一定角度看也可以说是由有限到无限的迈进，而数学是最具抽象性的学科，这亦足以说明在向无限的迈进中，数学达到的层次是最深入的。并且在数学中，无穷是永远无法回避的。因为数学证明就是用有限的步骤解决涉及无穷的问题。数学与无穷间的关系是剪不断、理还乱的。从数学产生之日起，无穷就如影相随，伴着数学的发展齐步前进。尤其当微积分产生后，数学与无穷的联系就更紧密了。恩格斯说：“莱布尼兹是研究无限的数学的创始人。”诚如恩格斯所言，从唯物辩证法角度来看，数学的发展从初等数学到高等数学的质的飞跃，就是数学上从研究有限到研究无限的质的飞跃。微分和积分实质上都是一种极限，而极限过程就是无限过程。因此可以说，微积分在数学树立了一座认识无穷的不朽丰碑，另外康托尔的无穷集合论也使人们对无穷的认识上升到一个新层次。
然而“无穷既是人类最伟大的朋友，也是人类心灵宁静的最大敌人。”（希尔伯特语）因为征服无穷的路毕竟是这样地难行。在数学无穷发展历程中，我们已经看到征服无穷的路途中，悖论是一次次出现：芝诺悖论、贝克莱悖论、罗素悖论的出现即为例证。虽说，历经几百年，数代数学家的艰苦努力，建立的极限论、实数论、ZF公理系统解决了这些悖论及由此导致的危机。然而悖论的清除，矛盾的回避也导致了数学确定性的一步步丧失。第三次数学危机只是于表面上解决了，实质上更深刻地以其他形式延续着。希尔伯特曾企图用形式主义“一劳永逸地消除任何对数学基础可靠性的怀疑。”然而其一揽子解决方案在1930年哥德尔发现不完备定理后宣告付之东流了。哥德尔的工作使人们对无穷的认识又上升了一个层次。人们开始更深刻地明白：任何想一劳永逸解决无穷问题的努力是乌托邦式工作不可能成功。认识无穷、征服无穷之途是漫漫无际的。然而数学中没有不可知！经过一代代人的努力，人们对无穷的认识必将一次次上升到新的高度！
康托尔与无穷基数
我们熟悉自然数、正整数、整数以及它们是如何用来计数和计什么数的。但是格奥尔格·康托尔的超限数怎么样呢？超限数有多少，它们描述的又是什么类型的事物呢？超限数描述的是一个集合里面对象的数目。例如，A={苹果，橘子，梨}可用基数3来描述集合A里面有多少对象。在18741至1895年间，康托尔研究并发展了集合论。因为有许多无穷数集，他认为显然需要用一个新的基数集来描述无穷集的基数。因此他创造了超限数，0、1、2、3、4，等等。记号代表希伯来文字母阿列夫。0（阿列夫零）指计数数的数目。任何能与计数数一一对应的集合，被称为具0个元素。下图指出具有阿列夫零0、阿列夫一1、阿列夫二2的基数的一些集合，但是还没有人提出过有3、4或任何更高阿列夫数的集合的例子。
0下列每一集合中的元素数目——
{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11…}
{…，—4，—3，—2，—1，0，1，2，3，4，…}
{有理数}
1
下列每一集合中的元素数目——
{线上的点}
{球内的点}
{立方体内的点}
3
下列每一集合中的元素数目——
{所有曲线}
3……
n
下列每一集合中的元素数目——
？的集合
