一般，小学生就知道平方数，22=4，32=9，非常简单。可是现在许多与平方数有关的问题还在困扰着数学家。
17世纪法国数学家费马，本人原是律师，研究数学只是业余爱好。可是他的这种业余爱好，使他成为17世纪欧洲最重要的数学家之一。费马还有一个特点，他对数学规律的发现，大多数都是以猜想的形式提出的。也就是说，他只管提出结论，不管证明。
费马提出许多有关平方数的问题，下面介绍几个：
（1）1640年12月25日费马在给神父梅森的信中提出：一个形如4n+1的素数都可以表示成两个平方数之和。比如，5=4+1，13=9+4，17=16+1，29=25+4等等。
当然，费马对这个结果没有给出证明。100多年以后，瑞士数学家欧拉才结出了证明，并进一步证明了这种表达是惟一的。
（2）一个形如4n+1的素数，把它作为整数边直角三角形的斜边的机会只有一次。比如5，把它作为斜边，只有52=32+42这一种可能。如果把4n+1的素数平方，那么它作为斜边的机会就增加为两次；把它3次方之后就有3次等等。比如5，5的平方是25，而252=152+202=72+242；5的立方是125，而1252=752+1002=352+1202=442+1772。这个问题后来也得到了解决。
（3）整数边直角三角形的面积不能是一个平方数。比如边长为3、4、5的直角三角形，它的面积是6个平方单位，而6不是一个平方数。
这个问题由法国数学家拉格朗日证明是对的。
但是有关平方数的问题很多，并不是都解决了。1770年英国数学家华林推测：每一个正整数都可以表示成4个平方数之和，9个3次方数之和，19个4次方数之和。
华林推测的第一部分，即每一个正整数都可以表示成4个平方数之和，提出不久被法国数学家拉格朗日证明了。
按照华林的想法，上面推测可以推广到更一般的形式：
对每个自然数是K＞1，存在一个常数S（k），使每一个自然数可以表示为至多：S（k）个（自然数）的k次方的和。
比如，k=2，s（k）=4，即对于每一个自然数都可以表示为至多4个2次方的和；k=4，s（4）=19，意思是对于每一个自然数都可以表示为至多19个4次方的和。
这个问题的证明十分困难，使得数学家不知从何处下手。经过了很长时间的探索，1909年，德国著名数学家希尔伯特成功地证明了这个问题。英国数学家哈代称赞希尔伯特的工作是“现代数论的一座里程碑”。
但是，华林问题并没有全部解决。希尔伯特只是证明了：S（k）的存在性，并没有给出确定S（k）最小值的方法和数值。我们把S（k）的最小值记为g（k），按照华林的猜测，g（2）=4，g（3）=9，g（4）=19。
猜测g（k）的一般规律是：
g（k）=2k〔（32）k〕-2
这里的〔〕不代表中括号，〔x〕表示x的整数部分，比如〔3.2〕=3，〔613〕=6等等。
1964年，我国数学家陈景润证明了g（5）是对的。g（5）是多少？可以用上述公式算一下：
g（5）=25+〔（35）5〕-2
=32+〔24332〕-2
=32+（71932）-2
=32+7-2=37
也就是说每一个自然数都可以表示成37个非负整数的5次方之和。但至少有一个数不能表示成37-1=36个非负数的5次方之和。
对于上述规律（1），k=4仍没有解决。现在已经证明了g（4）的范围是19≤g（4）≤21，但是不是g（4）=19仍没有证出。
华林问题还没有完全解决，有人又从另一方面提出新的问题。保罗·图兰提出，什么样的正整数可以表示成两两互质的4个整数的平方和？他之所以这样提问题，是因为他确实发现了有不能表示的正整数。比如，他证明了形如8n的正整数8、16、32等等就不能；他又证明了形如6n+5的数11、17、23等等也不能。那么，究竟哪些数能表示呢？这个问题还在探讨中。
保罗·图兰还猜测，任何一个正整数都可以表示成两两互质的整数的平方和，其个数最多是5个。但是对于足够大的所有整数，能表示成恰好5个两两互质的平方数之和吗？至今也没得到肯定的证明。
华林推测，每一个正整数是9个立方数之和。有人嫌9个太多，提出每一个正整数能否表示成4个立方数之和？研究的结果表明，对于所有的正整数是做不到的。可是，除了形如9n±4的数以外，其他的数都可以做到。
有人又提出：每一个整数能否表示成4个立方数之和，并且其中有两个是一样的？也就是说，每一个整数能表示成x3+y3+2z3吗？这个问题对于许多数都没有解决，比如76、148、183、230、253等都不知道能否表示。
看来，平方数之谜还有待研究。
