扔铜钱决胜疆场
宋皇五年，即公元１０５３年，发生了宋与侬智高之间的战争。
侬智高，是北宋广源州（今越南高平省广渊）壮族首领，庆历元年（１０４１年）建“大历”国，后又袭占安德州（今广西清西）建南天国，随之上书宋朝廷要求封为岜桂节度使，没有得以满足。皇四年（１０５２年）五月，侬智高率众反宋。侬军沿左江攻破岜州等八州，并多次在贺州等再打败宋军。九月，侬军又攻破宾州。一时间打得宋军不可招架，纷纷弃城而逃。
面对侬智高反叛朝廷一时得势，宋朝统治者怎能善罢甘休，仁宗赵祯遂命枢密院副使狄青为宣抚使，率军南下平息叛乱。皇五年（１０５３年）正月，狄青率大军开始南征。狄青所指挥的部队都是岭南驻军，由于前时侬智高军气焰嚣张，连克宋军九座城池，对侬军作战自然心有余悸。狄青对此了如指掌，他打仗一向注重激励军中士卒。他本是由皇帝卫士提拔起来的战将，身经百战所向披靡，深得范仲淹的赏识，后官至马军副都指挥使，仁宗念其功高，特意让他敷药以除去面涅（士卒面部刺的符号），狄青则留其面涅作为激励军士的范例，向士卒表明朝廷是不论门第，只论功擢升，士卒只要战功卓著，完全可以大有作为。这次，担此大任，大部分军校还没有从以前的失败情绪中解脱出来，自然对胜利就缺乏信心了。
狄青不愧是带兵打仗的行家里手，他自有激励军心士气的灵丹妙药。当他率大军行至桂林以南时，一座神庙出现在眼前。据百姓传说，这座庙供奉的神特别灵验，既然如此，何不用之祈祷一番，狄青下令部队在庙前停止前进，亲自率众将入庙祈祷，以求神灵在平叛作战中取胜。只听他说道：“此次出兵，胜负无以说明。如果能够大获全胜，我撒出去的钱全是钱面朝上。”说完就要把手中的一小袋钱币撒出去。众将见状，不由得面呈难色，这样的祈祷未免太冒险，别说那么多钱币，就是一枚钱币也只有５０％的把握，这一撒出去，钱面全朝上的把握实在是太小了，这样做，很难如愿，反而会长了他人的威风，灭自己的志气。众将念及此举非同小可，一齐劝阻狄青。狄青根本不听劝阻，他似乎信心十足，挥手把百枚铜钱抛撒出去。众将的心“嗵嗵”直跳。铜钱从空中落下来，挣扎几下躺在地上。众人瞪大眼睛去寻找那难以出现的结果。但奇迹发生了，地上的铜钱清一色的钱面朝上，真是“神灵”有眼，诚心让宋军得胜。众将不禁转忧为喜，此事在军中传开，上下齐声欢呼，士气大振。
狄青乘军心大振，士气旺盛之时，一举突破昆仑关，收复岜州，平定南疆，把侬智高赶往大理。后来狄青命众将观赏这神力无比的钱币，这时方才恍然大悟，原来狄青抛的是两面都一样的钱币，无论怎样，结局都是一样的币面。学过高中代数课概率这一章的人都知道，自然界的现象大致可分两类，一类是确定性现象，另一类是随机现象。而随机事件在现实生活中是广泛存在的，从表面看，对随机现象的每一次观察，结果总是偶然的、不可预测的，但多次观察一个随机现象，便能从中发现规律。这种寓于偶然中的必然的学问就是高中代数课所学的概率。其定义是指在大量重复进行同一试验时，某事件发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数便是概率。身为大将军的狄青在当时可能不甚清楚有概率论这门学问，但作为生活经验他何尝不知道，掷一枚铜钱，出现正反面是随机的，钱面可能朝上，也可能朝下，有两种不同结果呢？也就是朝上有１的可能性。当然２扔２枚钱时，会有４种结果，而２枚都朝上只是其中一种，其可能性为１。同样，扔３枚钱时，钱面全部朝上是有１的可能性；２２２３扔４枚钱时，钱面全部朝上有１的可能性；……以后每多掷一枚２４铜钱，各种正反的配合种数便增多１倍。扔１００枚钱时，钱面全部朝上的可能性只有１，这个数字几乎等于０了。这就是说，２１００要想使１００枚钱币扔出去全部朝上，这几乎是不可能的事。这应当是人所共知的经验。
投掷次数越多，频率越接近于０５。这中间究竟有些什么奥妙？现代概率论给予了科学的回答：即是当试验次数很大时，事件出现的频率和概率有较大偏差的可能性很小，因此可用频率来代替概率。可见，在大量纷纭杂乱的偶然现象背后，隐藏着必然的规律，“频率的稳定性”就是这种偶然中的一种必然。可见，要想使１００枚钱币扔下去全部朝上显然有违常规。狄青的僚属正由于深知这一点，才力劝主帅放弃这种尝试的。广大的士兵出于对鬼神的崇拜、经验的启示和对主帅的神秘感，则半信半疑，拭目以待，而这种可能性微乎其微的事竟然发生了，将士们自然认为是有神灵护佑。这是古代将帅使用“愚兵计”的治军用兵的典型事例，这我们姑且不论，还是回过头看看狄青如何在破敌凯旋后，来感谢神灵的吧。
狄青带着部队凯旋回来后，便当即命人把战前动员时所投下的１００枚铜钱上的钉子拔起来，在那一刹那，他的僚属们才恍然大悟，原来，这些钱币都是狄青特制的，两面都只铸了正面！聪明的狄青，注意到人们在观察随机现象时，往往过于相信自身的经验，而忽视了前提条件。从而利用了人们的思维定式和敬畏鬼神的迷信心理，机智巧妙地采用偷梁换柱的手法，更换了“铜币有正反两面”的前提，把铜币两面铸成一样。这时，对狄青来说，１００枚钱全部朝上是个必然事件，但在别人看来，却是几乎不可能出现的事件，然而这不可能发生的事竟然发生了！那时那刻，在众人的心目中，兴奋战胜了怀疑。众士兵自然觉得，神灵的护佑是这种超乎寻常巧合的唯一解释。于是，一种对科学的愚弄，骗过了他的部下，竟然激发起千军万马的勇气，鼓舞了士气，赢得了胜利。从这个故事中可以看出，大将狄青不愧是一名有勇有谋的猛将。
概率解锁送情报
一天，智身和师傅为给八路军送情报，师徒二人一路沿途化缘来到一座大山脚下，此山上密林葱葱，轻雾缭绕，颇有一派人间仙境的风光。师徒二人稍稍休息，便起程上路。不想当二人来到一处稍平坦的地域时，突然丛林中窜出几条大汉，不由分说将师徒二人捆绑起来，蒙住眼睛，带到不知何处。当师徒二人被拿掉蒙眼布时，他们看见眼前是一位凶神恶煞般的山大王，以及周围的诸多喽，原来是一群土匪。此情景使师傅打了个冷战，心想：“这下可完了，情报送不成了，命也难保住。”扭头看智身，只见徒弟面不露惊色，从容不迫，师傅不禁面露愧色，随之稳定精神。打劫者没有抢到什么财物，便想刁难一下他们再放走师徒二人。于是便出了几个智力题让他们回答，如果回答不上来，便要他们留下为奴。不想智身一连答对了这几个问题，山大王不得不履行诺言，放他们走。谁知因智身的机智惹恼了山大王，临下山之际他突然改变了主意，叫来两名喽，用铁锁把智身师傅的双脚锁住了。
智身气愤地问：“你把他的双脚锁起来，叫他怎样走路？”
“哈，哈……”山大王一阵狂笑说，“你应该帮助他呀！我已经把下山的路线写得清清楚楚，剩下的事情就由你这个徒弟来做了。”
山大王指着智身的师傅脚上的锁说：“这是把密码锁，密码是由六位数字１ａｂｃｄｅ组成。把这六位数乘以３，乘积就是ａｂｃｄｅ１，你们可以算算这个密码是多少。不过，你们要注意，算对了就能打开锁。如果算错了，拨错了密码，锁会变得非常紧，你师傅的脚就要被夹坏呀！”
愤怒的智身问：“可以走了吗？”山大王石手向前一伸说：“请！”
智身也没搭话，背起师傅就走。按照山大王给的图示上所标的路线，来到了一条大河边。河上架着一座用绳子绑成的木板桥，桥还挺长，中间用几根木柱支撑着。桥边立着一块木牌，上面写着：此桥最多承重５０公斤。
智身将师傅放到了地上，擦了把汗问：“师傅，您有多重？”师傅回答：“３５公斤。”
智身说：“我４０公斤，看来我背着你过桥是不行了。”
师傅说：“智身，你先下山送情报吧。叫你背着我走，你的负担太重了。”
智身也很着急，他既不想把师傅扔下不管，又不想耽搁了八路军的情报，怎么办呢？智身焦急地在桥边来回遛了两趟，突然他双手一拍说：“有主意啦！”智身解开绑桥板的绳子，拆下一段桥板，又用绳子的一头拴住木板，让师傅平躺在木板上。智身跳到水里游了一段，又爬上木桥，他用绳子拉着木板一同往前走，很快就把师傅拉过了河。
师傅高兴地说：“利用水的浮力，你把我拉过了河。”
智身一拍大腿说：“嘿！咱俩可真糊涂。把密码锁打开，不是一切问题都解决了么！”
师傅说：“这要算半天哪！密码的六位数字是１ａｂｃｄｅ，乘以３之后，得ａｂｃｄｅ１，可以列个竖式。ｅ×３的个位数是１，只有７×３＝２１，ｅ必定是７；由于２１在十位上进了２，这样ｄ×３的个位数必定是５，那么ｄ一定是５；同样可以推算出ｃ＝８、ｂ＝２、ａ＝４。”师傅在地上写了几个算式：
１ａｂｃｄｅ
×３ａｂｃｄｅ１
１ａｂｃｄ７
×３ａｂｃｄｅ７
１ａｂｃｄ５７
×３ａｂｃ５７１
师傅高兴地举起双手说：“哈哈，我算出来啦！密码是１４２８５７，我来把锁打开。”说完就要开锁。
“慢，”智身说，“如果错了，可就糟啦！铁锁会越来越紧。这样吧，我用列方程的方法再算一遍，看看得数是否一样。如果一样了再开锁也不迟。”
智身在地上边算边写：
设ａｂｃｄｅ＝ｘ，那么１ａｂｃｄｅ＝１０００００＋ｘ，因为ａｂｃｄｅ１＝１０×ａｂｃｄｅ＋１＝１０ｘ＋１，可列出方程３×（１０００００＋ｘ）＝１０ｘ＋１，展开３０００００＋３ｘ＝１０ｘ＋１，７ｘ＝２９９９９９，ｘ＝４２８５７，∴１ａｂｃｄｅ＝１４２８５７。
师傅高兴地说：“结果一样，没问题啦！”
智身小心地把密码锁拨到１４２８５７，只听“咔嗒”一响，锁打开了。两人非常高兴，顺顺利利地将八路军的情报送到了。
数理统计解战争名著案件
“１９１９年１１月，克拉斯诺夫将军的白军重新集结力量对察里津发动了新的攻击。白卫军把第９集团军逼向北部，在第１０集团军的右翼转入了进攻，夺取了杜博夫卡后，向伏尔加河前进。杜博夫卡是战局转换的一个枢纽，如果重新占领它，那么将恢复察里津东北地区的局势，而且可以将卡梅申战斗地段与保卫察里津的整个战线连成一片。为此，布琼尼率领的骑兵们以隐蔽动作到达冲击出发点古姆拉克，１１日发动突然袭击，于１２日中午攻克杜博夫卡，共消灭敌军４个骑兵团和２个步兵团，随后向达维多卡发动了进攻……”
这是１９１８年察里津保卫战中的片断。这样激烈的战争场面，当它被描写进小说《静静的顿河》里之后，理所当然要引起文坛的注意。因此，１９６５年它获得了诺贝尔文学奖也是不足为奇的。
然而《静静的顿河》的故事远不止这些。先是两位苏联作家亚历山大·索尔仁尼金与罗伊·麦德维杰夫指控肖洛霍夫是个骗子，声称《静静的顿河》不是肖洛霍夫写的，真正的作者是哥萨克地方民族主义者费奥尔·克鲁乌科夫。而肖洛霍夫只不过将已去世作家未出版的作品手稿重新改写了前两卷的５％，后两卷的３０％，就改头换面，以自己的名义发表了。接着是克鲁乌科夫的未亡人出来大闹天宫。近年来，又杀出一位程咬金———挪威首都奥斯陆大学的苏联文学教授盖尔·克其萨，他用电子计算机对文学作品进行分析研究，其别具一格的论文曾发表在世界知名的权威性杂志《计算机与人文科学》上，轰动一时。
克其萨教授与他的挪威、瑞典同事，使用乌普沙拉大学的一台ＩＢＭ３７０／１５５电子计算机对《静静的顿河》的文章风格与其他一些特点与克鲁乌科夫的公认作品，进行了统计分析：抽取样品，编制程序，测定句子的长度，计算词类的分布与组合情况，力求得出一个客观的结论。他们主要研究了三个重要参数，为了对比，把肖洛霍夫的无可争辩的作品作为第一组，《静静的顿河》作为第二组，克鲁乌科夫的作品作为第三组。
第一个参数是一部作品中不同词汇总量与总词汇量的百分比。统计结果表明：第一组为６５６％，第二组为６４６％，两者非常接近。而第三组却只有５８９％，明显低于前两个数据。这说明，克鲁乌科夫在其作品中，更喜欢经常重复使用同样的词汇。
第二个参数是词汇分布频谱。对比，也是第一组与第二组比较接近。学者们选取了２０个俄文中常见的词汇来研究比较。它们占作品中全部词汇的百分比分别是：第一组２２８％，第二组２３３％，第三组２６２％。
最后一个参数是作品中只出现过一次的词汇所占的百分比。对此，肖洛霍夫的作品为８０９％，《静静的顿河》为８１９％，克鲁乌科夫的作品则只有７６９％。
研究结果表明，所有的参数都存在一个一致的趋势，即克鲁乌科夫的作品与《静静的顿河》之间，存在着显著的统计差异。由此可见，这部杰作的真正作者很难说是克鲁乌科夫。相比之下，肖洛霍夫倒更像是《静静的顿河》的原作者了。
数理统计使文坛上这宗多年悬而未决的案件进一步明了，笔墨官司打到如此地步，看来对肖洛霍夫是有利的。至于将来究竟如何结案，还要看文坛专家的结论。
弓箭战中的概率问题
在中世纪的历史上，虽然英、法两国关系非常密切，也时常发生冲突。早在１０世纪末的时候，法兰克王国分裂成许多公国，其中最强大的是西部的诺曼底公国。诺曼底公国与英吉利王国只相隔一条拉曼什海峡（今称多佛尔海峡）。１１世纪下半期，诺曼底公爵威廉趁英吉利王国内讧，渡海进攻，打败了英国，不久进入伦敦，加冕为英吉利国王。这就是历史上的“诺曼底征服”事件。
到１２世纪中期，威廉的后裔不仅占领了英吉利的疆域，而且以法王封臣的身份，在法国占有了比法兰西王室多６倍的领土。法王为了取得法兰西的统一，时常同英国发生武装冲突。
１３２８年，法王腓力六世与英吉利的国王爱德华三世，为了争夺富饶的纺织地区佛兰德尔，发生冲突，爱德华三世以自己是法王腓力四世的外孙，与腓力六世争夺国王的继承权为借口，引发了两国之间长达百年之久的战争。
战争于１３３７年１１月开始的时候，双方的军事行动都很缓慢，但到了１３４０年，当英国海军在击溃了法国的舰队后，英国便获得了海上优势。６年后，英国陆军又出现在法兰西土地上，此举引起了法王腓力六世的雪耻解恨的复仇心理。一天清晨，他亲自统帅着队伍，从行宫所在地阿柏维尔城出发，向英军驻地进军。当传令兵前来报告前方已经看到了英军的旌旗时，腓力六世立即传令各部队马上停止进军，原地待命。但不知什么原因，尽管最前面的部队已经停下，后面的部队却继续向前行进。这样队伍发生了混乱，国王和将军们都无法控制他们。没多久，法军就全部暴露在英军面前。
当时指挥英军的英王太子见到法军接近，就立即命令英军排列成三道战线：弓箭手排成方阵，重骑兵列在战线底层，第二线的兵力整齐地展开成为翼形，随时准备应援。
这边腓力六世看到英军以后，顿时满腔怒火，眼睛通红。他不顾自己队伍混乱，就命令弓箭手们上前，立即开始战斗。
法王这次带来的弓箭手有１５０００名之多，都是从热那亚招募来的雇佣兵，每人每分钟能射出四支飞箭。但是他们背着弓箭，走了这么多的路，已经非常劳累，加之天公不作美，电光闪闪，大雨倾盆。这些士兵早就失去了战斗力。看到这情形，腓力六世气得青筋在鬓边迅速跳动。他抽出宝剑，猛地向旁边的一棵树砍去：“传我的命令，立即进行战斗，否则就地处死！”
