19世纪20年代，著名的费尔巴哈定理诞生了，这个定理就是关于九点圆的证明的。德国数学家费尔巴哈在《直角三角形的一些特殊点的性质》中，阐述了自己对九点圆的证明，第一次指出了九点圆与内切圆及三个旁切圆相切，这就是人们通常所称的“费尔巴哈定理”。那时费尔巴哈年仅二十二岁。
第二个九点圆又可称为“十二点圆”，三角形的三个顶点是构成这个九点圆的这九个点中的一部分，而他们恰好与三角形的旁心三角形的三个高重合。此外的六个点分别是：三角形三个旁心的三边中点，三角形内心与三个旁心连线中点。第二个九点圆与第一个九点圆的性质大致相同，但是它与三角形的外接圆重合，圆心在三角形的外心上，第二个九点圆半径与第一个九点圆半径之比为2∶1。
关于九点圆的证法很多，但是无一例外，所有证法都很繁琐，让人很难理解，英国麦凯博士发表过一篇关于九点圆的论文就有十几页之长。关于九点圆的证明已经成为了难点，这更为九点圆增添了几分神秘的气息。
大自然的巧合无处不在，总是给人意想不到的惊喜。三角形是数学里最基本的图形之一，三角形虽然以它的稳固著称，然而，三角形里处处有玄机，等待着我们去探索，从勾股定理到正余弦定理，简单的三角形总是吸引着人们的注意，蕴涵着深厚的底蕴。
九点圆带给我们的不仅仅是惊异，它的特殊性也使它拥有了特殊的作用。九点圆正等待着人们对它进一步的发掘和利用。
简单的三条线相连却连出了九点圆，这是个数学的巧合，也是数学的神奇之处。也正是这种神奇，让古往今来多少科学家们为之前仆后继。
奇妙的幻方
传说很早以前，夏禹治水的时候，在河南洛阳附近的大河里浮出了一只乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。后人称之为“洛书”或“河图”。
如果把图形改成现在通用的阿拉伯数字，就成了下面的样子。
4 9 2
3 5 7
8 1 6
我们注意到上面的图形中，九个数字正好是从1到9，既无重复，也没有遗漏，但它们并不是按递增或递减顺序来排列。上图的排法，到底有何奥妙呢？
原来，图中任意一横行、一纵列及一条对角线上的三个数字之和全都相等，等于15。把具有这种性质的图表称为“幻方”或“纵横图”。上面这个三行三列的幻方就称“三阶幻方”，15是三阶幻方的常数。古代又称三阶幻方为“九宫”。古书上记载：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，载九履一，五居中央。”
把上面的九宫图旋转90°、180°与270°，再把它们与原图一起画在透明纸上，从反面来观察，这样一共可以得到八个图，但它们并无实质上的不同。
现已证明：三阶幻方只有一种构造方法。南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：只要将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数也对调，最后再把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
神秘的阿拉伯数字带给人们的是无尽的遐想与迷恋，正如幻方问题是那样引人入胜。
神奇的“无8数”
朋友们，你们知道吗？在数学王国里，有一位神奇的主人，它是由1、2、3、4、5、6、7、9八个数字组成的一个八位数——12345679。因为它没有数字“8”，所以，我们都管它叫“无8数”。
“无8数”虽然是由普通的八个数字组成的，但是它具有许多奇特的功能。它与几组性质相同的数相乘，会产生意想不到的结果。你不信？就让它给你展示一下吧！
它若是与9、18、27、36、45、54、63、72、81（9的倍数）相乘，结果会由清一色的数字组成。
12345679×9=111111111
12345679×18=222222222
12345679×27=333333333
……
12345679×81=999999999
“无8数”不仅能乘出清一色的积，而且还能与12、15、21、24……（3的倍数，其中9的倍数除外）相乘，得出由3个数字组成的“三位一体”的特殊组合，其结果如下：
12345679×12=148148148
12345679×15=185185185
12345679×21=259259259
12345679×24=296296296
……
怎么样？朋友们，“无8数”够神奇的吧！这还不算，还有更精彩的呢，它若是与10、11、13、14、16、17……相乘，乘得的积会让8、7、5、4、2、1轮流休息（3、6、9是3的倍数，就轮不到它们休息了）。
12345679×10=123456790（数字“8”休息）
12345679×11=135802469（数字“7”休息）
12345679×13=160493827（数字“5”休息）
12345679×14=172839506（数字“4”休息）
12345679×16=197530864（数字“2”休息）
12345679×17=209876543（数字“1”休息）
……
怎么样？“无8数”够有人情味了吧！
看了这个结果后，大家一定会说：“无8数，真奇妙！”然而，它与10、19、28、37、46、55、64、73相乘，更是其乐无穷，积会让1、2、3、4、5、6、7、9八个数字轮流做开路先锋！
12345679×10=123456790
12345679×19=234567901
12345679×28=345679012
12345679×37=456790123
12345679×46=567901234
12345679×55=679012345
12345679×64=790123456
12345679×73=901234567
这个神奇的“无8数”还有不少有趣的性质，随着人们对“无8数”研究的深入，这种有趣的性质会越来越多地被发现出来。
看了“无8数”的展示，大家有什么感想呢？在神奇的数学王国里，有无数的“宝藏”等待着我们去挖掘。只要我们多学习，多积累，就一定能探索出更多的奥秘。
秦王点兵的原理
战神如果是个数学家，那他取胜的几率就会大增。从人类早期的战争开始，数学就无所不在，不论是发射弩箭还是挖掘地道攻城，数学定律就像冥冥之中的命运之神一样在起着作用。
秦王暗点兵和韩信乱点兵是我国古代的军事智慧，但其实都是后人对“物不知其数”问题的一种故事化。
“物不知其数”问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。原题为：“今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？”
这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，就会剩下两件。问：这批物品共有多少件？
如变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求这个数。
其实这个问题很简单：用3除余2，用7除余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，用21除余2的数我们首先就会想到23，而23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，就会更有趣儿得多。
我们换一个例子：韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？
这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。
我们举例加以细致的分析：
例如我们从用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。
要使3n+2还要满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。当n=1时，3n+2=5，5除以5得1，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
最后一个条件是用7除余4，8不满足这个条件，不合题意。所以我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。
为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，…代进去试验。当试到m=3时，得到新数为53，53除以7恰好余4满足所有条件，因而53就是本题的唯一答案。
我国古代学者早就研究过这个问题。例如明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
“正半月”暗指15。“除百零五”的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；相当于用105去除，求出余数。
这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：
70×2+21×3+15×4=263，
263=2×105+53，
所以，这队士兵至少有53人。
在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：
70是5与7的倍数，用3除余1；
21是3与7的倍数，用5除余1；
15是3与5的倍数，用7除余1。
因而：
70×2是5与7的倍数，用3除余2；
21×3是3与7的倍数，用5除余3；
15×4是3与5的倍数，用7除余4。
如果一个数用a除余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a，余数仍然是b。所以，把70×2、21×3与15×4相加起来所得的结果能同时满足“用3除余2、用5除余3、用7除余4”的要求。
一般地，70m+21n+15k （1≤m＜3， 1≤n＜5，1≤k＜7）
能同时满足“用3除余m、用5除余n、用7除余k ”的要求。除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。
凡是三个除数两两互质的情况，都可以用上面的方法求解。
上面的方法所依据的理论，在中国称之为“孙子定理”，国外的书籍称之为“中国剩余定理”。
在古代战争的智谋当中也包含着数学原理，数学真的是无处不在啊！
