如果你所在的学校要举办一次象棋比赛,报名的是50个,用淘汰制进行,要安排几场比赛呢?一共赛几轮呢?如果你是比赛的主办者,你会安排吗?
因为最后参加决赛的应该是2人,这2人应该从23=8人中产生的。这样,如果报名的人数恰巧是2的整数次幂,即2,4(22),8(23),16(24),32(25),……,那么只要按照报名人数每2人编成一组,进行比赛,逐步淘汰就可以了。假如先报名的人数不是2的整数次幂,在比赛中间就会有轮空的。如果先按照2个人一组安排比赛,轮空的在中后阶段比,而中后阶段一般实力较强,比赛较紧张,因此轮空与不轮空机会上就显得不平衡。为了使参赛者有均等的获胜机会,使比赛越来越激烈,我们总把轮空的放在第一轮。例如上例的50在32(25)与64(26)之间,而,50-32=18。那么第一轮应该从50人中淘汰18人,即进行18场比赛。这样参加第一轮的18组36人,轮空的有14人。第一轮比赛后,淘汰18人,剩下32人,从第二轮起就没有轮空的了。第二轮要进行16场比赛,第三轮8场,第四轮4场,第五轮2场,第六轮就是决赛,产生冠军和亚军。这样总共进行六轮比赛,比赛的场数一共是:18+16+8+4+2+1=49,恰恰比50少1。
我们再来看看世界杯足球赛的例子。98法国世界杯赛共有32支参赛球队,比赛采取的方式是先进行分组循环赛,然后进行淘汰赛。如果全部比赛都采用淘汰制进行,要安排几场比赛呢?32正好是25,因而总的场数是16+8+4+2+1=31,也是比32少1。
不妨再从一般情况来研究。如果报名的人数为M人。而M比2n大,但比2n+1小,那么就需要进行n+1轮比赛,其中第一轮所需要比赛的场数是M-2n ,第一轮比赛淘汰M-2n 后,剩下的人数为M-(M-2n )=2n 。以后的n轮比赛中,比赛的场数为:
2n-1+2n-2+2n-3+…+23+22+2+1
=(2n-1+2n-2+2n-3+……23+22+2+1)×(2-1)
=(2n+2n-1+2n-2+2n-3+……23+22+2)
=(2n-1+2n-2+2n-3+…+23+22+2+1)
=2n-1。
所以,一共比赛的场数是(M-2n)+(2n-1)=M-1,即比参加的人数少1。
其实,每一场比赛总是淘汰1人。在M人参加的比赛中,要产生1个冠军就是淘汰M-1人,所以就得比赛M-1场。你明白了吗?
现在请你自己来安排一次乒乓球比赛,报名参加男子单打的有158人,报名参加女子单打的有96人,应该进行多少场比赛?怎样安排这些比赛呢?