老师：我们要求作的是两圆的内公切线，我们曾经讲过怎样求作外公切线，可以说，这两个问题有着一定的类似性。那么，那里的方法对我们有用吗？让我们回想一下我们分析那个问题的过程中，哪个步骤是关键的？
学生：当时的关键步骤是作出一个与圆同心半径为r2-r1的圆。
老师：对了，我认为这个信息对我们可能很重要，那么，这个信息能启发我们做什么呢？能猜一猜吗？(关键的信息抓住以后，到底有什么启发，怎么用，对此，应激发学生的思维和想象力，让他们大胆地猜想，这是培养创造性思维能力的关键。)
学生：也许它是个和，我的意思是，也许可以作一个以已知的两圆半径之和为半径的同心圆(经过老师的引导和学生的努力思考，有意义的猜想终于出现，赶紧加以肯定，并给予鼓励，并趁机追问，以求更多的发现和猜想)。
老师：那倒是个很好的想法，那么，接下来怎么做？
学生：我还不知道(可见学生的猜想是一时的灵感，还不是深思熟虑的产物，有必要继续引导，再让学生从原问题的分析中借用有用的信息)。
老师：还记得我们求作外公切线时是怎样做的吗？
学生：我们作了一个矩形(学生回忆起了这个有用的信息)，现在我们也可以尝试一下，作一个矩形。
老师：我认为你们提出了一个很好的想法，那么怎么求作一个矩形呢？
学生：我想起来了，当时，在作外公切线时，是自O"引半径为r2-r1的那个圆的切线，现在，我们的新圆的半径是r1+r2，我们可以考虑过O"引这个新圆的切线，得到一切点，由这一点就可以作出所求的内公切线(老师赶紧按照学生的思路，把新圆和所引切线及切点画出，得到如下图所示的图形)。
通过构造矩形来作两圆的内公切线
老师：很好，刚才根据同学的想法，求得了A点，连OA交圆O于B，那么再过B作OA的垂线，则此垂线与圆O相切(说明理由)，此切线也必与圆O"相切(说明理由)。
于是，求作两个不全等的圆的外公切线，可以按下列步骤进行：
(1)作与大圆(中心在O)同心且半径为r2-r1的圆，其中r2表示大圆的半径。
(2)由小圆的圆心O"作所作圆的切线。记切点为C。
(3)画直线OC，OC与圆O的交点记为A，点A即为切点。
(4)过点A作OA的垂线，它就是所求的外公切线。
另一种利用类似问题解法的方式是考虑与原问题有关的一些简单而又关联的问题。例如，考虑所谓的棋盘问题：标准的8×8棋盘上含有多少个正方形？如下图所示，起初一看，好像8×8棋盘只含64个方格，但进一步考虑就会发现，所含的方格数远不止64，那么到底比64多多少呢？让我们考虑一些更简单而又相关联的问题。这个棋盘上，还有些什么规格的正方形？显然，有2×2和3×3规格的正方形。8×8棋盘上的正方形教师可以要求学生求出棋盘上2×2规格的正方形数。通过提问帮助学生认识到，这种正方形有49个。这可以通过对上图的分析推导出来。在解决了2×2规格的正方形个数后，我们可以考虑另一个相关联的问题，3×3规格的正方形有多少个？对这个问题应鼓励学生冒点险，让他们提出猜测，然后来验证或否定猜测。可以通过直接数出这种正方形的总数去验证。直接数一数，我们可以验证共有36个3×3规格的正方形。到此，获得的信息有如下的对应关系，我们从中可以找出一个模式，并通过直接数的方法验证这个模式。
正方形大小正方形个数
1×164
2×249
3×336
4×4？
5×5？
6×6？
7×7？
8×8？
3.当学生因所用方法始终未能奏效而感到沮丧时，帮助他们换一个角度思考问题有时，问题不能求解是因为解答者不能“打破框框”，习惯于套用某种现成的方法解题，解题者也许从已知条件中导出了大量的足够丰富的信息，或许其中还有许多知识对解题很有价值。但是，他们利用信息的方法可能不是有效的，如果解题者老是抱着这种方法不放，那么他就很有可能失去信心，并放弃不做。例如考虑下述问题：
AF和BG是单位圆0的两条互相垂直的直径(如下图所示)，点C是弧AB上的任意一点。CE平行于直径BG，CD平行于直径AF，求DE的长。
求圆内线段长
你很有可能根据已知信息确定了角C是直角。这时，如果你求DE长的思路是基于将勾股定理应用于三角形CED和EOD来考虑的，那么你的尝试极有可能会失败。从已知的条件来看，这样一种思路似乎是十分合理的，但是在经过一番尝试之后，解题者应当承认使用勾股定理不会有收获，所以，解题者必须寻找别的思路。不再考虑用三角形CED和EOD，而是去考虑四边形CEOD。你或许已经观察出来了，它是一个矩形(为什么呢)，对于矩形，特别是对于矩形的对角线，我们知道些什么性质？从这些考虑，看看是否能确定为什么有DE=1。
对于前面因采用勾股定理解答本题而变得沮丧的解答者，就有必要换一个角度进行考虑。从不同的观点分析问题，有时可以先把问题搁一搁，过段时间再考虑它。这并不是说人们在尝试寻找解法时，每次遇到挫折就放弃解题。如果解题者已经有信心确定某条解题思路可行，那么就应谨防随意放弃这条思路。
根据定义，问题是具有一定的障碍性的，解答是不容易的，不仅要有敏锐的洞察力，还要有坚韧不拔的精神。对一时难以解答的问题，换一个角度思考，也许能够丰富自己的思维内容，找到成功的解法，甚至捷径。但有些问题往往需要冗长的推导和复杂的计算，解题思路可能很不简单。对于这样的问题在找到更巧妙的解法之前，不应随意放弃已找到的解法。
三、为学生营造一个有利于解题的气氛
查明学生理解问题，帮助学生获取所有有关信息并不能保证学生就能解答问题，问题的解决需要有一定程度的洞察力，这种洞察力必须经过智力上的努力才能获得，教师不可能提供这种洞察力，而只能提供一种有利于学生将自己的创造力专注于解题的气氛。教师指出学生解题的思路可行，并给足他们研究问题的时间以此可以鼓励和激发他们解题的努力。如果教师自己认识到问题的障碍性，并做到了不因学生采用无效方法而使他们处于不利境地，那么教师就可能会以正面的方式来鼓励学生，比如可以说“那是一个好的开头——继续下去”，“那样也许可行——试试看”，“我也曾被这个问题难住——你要花时间好好考虑”。你还要时常给学生提示或建议，特别需要给那些因实施不奏效的解题思路而受挫折和沮丧的学生以提示。当学生由于受挫而放弃问题，无论是他们的自我概念还是他们的数学态度都将受到损害，学生无论在数学上还是在心理承受能力上都还不成熟，那种时刻最容易使其丧失信心。当然，还有必要提醒一下，教师在给学生提示时必须小心行事，避免打击那些初看起来显得无效但实际上颇具洞察力的解题思路。教师还应当帮助学生，简洁明白地提出猜想，然后再验证猜想。先形成猜想，再验证猜想，已被证明是一种行之有效的问题解决策略。应该鼓励学生大胆去猜想，然后对猜想加以验证、否定或修正，这种活动常为数学家和数学教师解决问题时使用。遗憾的是，教师们常常总是把自己起初的一次次失败以及一次次走进死胡同的结局隐藏起来，不让学生知道。总是给学生这样一种强烈的印象，我们解题时所具有的行为是完全演绎式的。长期这样下去会误导学生，使他们感到灰心丧气。其实我们应该使学生认识到，教师使用问题解决的准则和方法以及探寻过程，同鼓励他们使用的问题解决准则和方法以及探寻过程是一样的。
鼓励学生提出猜想、验证猜想常常能导致学生发现问题的多种解法，这就能为教师提供以实例说明数学潜在动力的机会，由此也许可以减轻一部分学生的心理压力，因为这些学生往往以为他们必定能找到正确的解法。从问题定义的另一面看，要成为个人真正的问题，还必须解答者要有解答的兴趣。在问题解决教学中，教师应能利用这一点。在帮助学生理解问题，获取有价值的思维素材及给了他们适当鼓励和足够的时间以后，接下来教师必须等待学生产生自己的解法。
四、及时鼓励学生对问题及解法进行反思
在找到问题的解法后，让学生回顾一下自己经过努力所获得的成果，既会使人别有一番享受，又有启发意义。学生在努力解决问题时，经历着一定程度的紧张，一旦找到了问题的解法(或一旦学生确信问题的解法已经找到)，这种紧张立即就被胜利的喜悦感所代替。学生经过长时间智力活动，终于克服了解法寻找过程中遇到的种种障碍，这种经历会使他们体会到战胜困难后的愉悦。
让学生有机会品尝自己取得的成就，能强化学生的成功感。
抓住时机利用这种积极的态度，鼓励学生去验证由归纳过程找到的解法，去寻找不同的解决思路，去研究与所解问题有关的问题，可以促进学生对所解问题有更深刻的理解。下面的每一种策略都将说明如何利用学生的成功感。
1．让学生验证未经演绎方法确定的解法
如果解题思路是用演绎的方法确定的，那么解法的验证实际上已蕴涵在演绎过程中。例如前面求作等边三角形(已知它的中线)的方法，我们使用了由已知信息和经过分析所演绎的信息。
演绎推出的信息至少说明了用于完成作图的程序的合理性。然而，通过归纳手段找到的解法，则是没有经过验证的，虽然它的验证对学生而言也许是完全可能的和可接受的。
例如，看下面的问题：在一个给定的三角形内求作一个内接正方形，使得它的两个顶点在三角形的底边上，而其他两个顶点应分别落在三角形的另两条边上。
