例3设A，B，C∈（0，π），并且满足cosA+cosB+cosC=1+4sinA2sinB2sinC2，求证：A+B+C＝π。
思考与分析：把已知等式化为sin2A2+sin2B2+sin2C2+2sinA2sinB2sinC2-1=0看作关于sinA2的方程，可用方程思想求解。
x2+2xsinB2sinC2+sin2B2+sin2C2-1=0的正根，
由于△＝4sin2B2sin2C2-4(sin2B2+sin2C2-1)=4cos2b2cos2C2
由求根公式得：
sinA2=-sinB2sinC2+cosB2cosC2=cosB+C2=sin(π2-B+C2
依题设A2，π2-B+C2∈(-π2，π2)故A2＝π2-B+C2
即A+B+C＝π
（第三节 ）公理化方法
公理化方法是从古希腊数学和逻辑学的发展中逐渐发展形成的。古希腊的毕达哥拉斯学派开创了把数学作为逻辑科学进行研究的方向，欧多克索斯在处理不可公度比时，建立了以公理为依据的演绎法。古希腊哲学家为了辩论的需要，发展了论辩术，柏拉图比较详尽地论述了论辩方法，并阐明了许多逻辑原理。可以说，公理化方法的产生(也称之为实质公理学阶段)主要来源于古希腊哲学家与数学家的贡献。
在人类数学的历史上，第一次把公理化方法系统运用于数学之中的是古希腊伟大的数学家欧几里得。欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，在前人积累起来的几何知识的基础上，运用抽象分析的方法提炼出一系列的基本概念和公理。由此出发，按照逻辑规则，将当时的几何知识几乎全部推导出来，从而使几何知识按公理系统形成了一个有机整体。这样，在数学领域中，公理化方法也就随之产生了。
《几何原本》共13卷，内容包括直边形和圆的性质、比例、相似形、数论、不可公度的分类、立体几何和穷竭法等。第一卷的开篇就给出了全书第一部分所用的23个定义，其中比较重要的有：
(1)点是没有部分的。
(2)线没有宽度只有长度。线这个字指曲线。
(3)一线的两端是点。(这个定义明确指出一线或一曲线总是有限长度的，《几何原本》里没有伸展到无穷远的一条曲线)。
(4)直线是同其中各点看齐的线。(“定义4”与“定义3”精神一致，欧几里得的直线是我们所说的线段)。
(5)面只有长度和宽度。
(6)面的边缘是线。(所以面也是有界的图形)。
(7)圆是包含在一(曲)线里的那种平面图形，其内有一点连到该线的所有直线都彼此相等。
(8)于是那个点便叫圆心。
(9)圆的一直径是通过圆心且两端终于圆周的任意一条直线，而且这样的直线也把圆平分。
(10)平行直线是这样的一些直线，它们在同一平面内，而且往两个方向无限延长后在两个方向上都不会相交。
接着欧几里得列出了五个公设和五个公理。他采用了亚里士多德对公设与公理的区别，即公理是适用于一切科学的真理，而公设则只适用于几何。五个公设为：
(1)由任意一点到任意一点可作直线。
(2)一条有限直线可以继续延长。
(3)以任意点为中心及任意的距离可以画圆。
(4)凡直角都相等。
(5)同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。
五条公理为：
(1)跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。
(2)等量加等量，总量仍相等。
(3)等量减等量，余量仍相等。
(4)彼此重合的东西是相等的。
(5)整体大于部分。
欧几里得从上述的五条公设和五条公理出发，推出了465个命题。
《几何原本》成为一种全新的前所未有的数学演绎的公理化形式。在数学的发展史上是一座不朽的丰碑。同时，这种公理化的方法也就成为数学理论构成的标准化模式，公理化方法也成为由数学经验上升为数学理论的唯一形式。《几何原本》的构成方法，结构模式从此成为数学的典范。公理化方法从此在数学中扎根、发展，并且一直深深地影响着它的发展。从现代公理化方法的层次分析，公理化研究的对象、性质和关系称之为“论域”，这些对象，性质与关系用初始概念表示。在《几何原本》中论域是事先具体唯一给定的。例如：研究的对象点、线都事先具体唯一给定了。“点是没有部分的”，“线没有宽度只有长度”。按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学称之为实质公理学，这种公理学一般是对经验知识的系统整理，公理都具有自明性。因此，从公理化方法的角度看，《几何原本》还是一种实质公理学的代表作(皮亚诺自然数算术公理系统、牛顿力学也是实质公理学)。
数学的公理化方法是数学自身发展的一种结果，自从公理化方法问世以来，它对推动数学的发展起了积极的作用。公理化方法是数学严格表述的基本方法之一，特别是在近代数学的发展中，公理化方法发挥了巨大的作用。
公理化方法(也称之为公理方法)，就是从尽可能少的无定义的概念(基本概念)出发去定义其他的一切概念，从一组不证自明的命题(基本公理或公设)出发，经过逻辑推理证明其他的一切命题，进而把一门学科的知识建构成为演绎系统的一种方法。人们通常也把由原始概念(或称之为基本概念)、公理所构成的演绎系统称之为公理系统。
数学的公理化方法并不是从数学问世时就存在的，它有一个特定的发生发展的文化背景。公元前3世纪问世的《几何原本》，是古希腊数学家欧几里得对公理化方法的杰出贡献。如果说古希腊数学是公理化方法的孕育土壤，那么欧几里得就是一位伟大的公理化方法的辛勤耕耘收获者。
《几何原本》中使用的公理化方法，极大地影响了西方数学的发展，它成为后世数学家进行数学研究、构造数学理论最重要的方法。在数学的发展史中，公理化方法曾一度成为数学理论体系的唯一表述方法。可以这样说，数学的发展创造出了公理化方法，公理化方法的问世又极大地推动了数学的发展。
公理化方法在其发展过程中，已经超出了数学的范畴，成为自然科学乃至社会科学的一种科学方法。1899年希尔伯特的《几何基础》问世，是公理化方法在近代发展的代表作，它把以欧几里得的《几何原本》为代表的公理化方法建成了一个比较完备的、形式化的公理系统。可以说，公理化的不断完善和发展，使公理化方法作为一种科学的方法在数学和其他学科中发挥着越来越大的作用。
在数学的发展中，数学某一个分支的形成，都有一个来源于社会实践或来源于其他数学理论的过程，要把这些新的数学知识建成一个理论体系，要求数学家们必须准确、严格地运用公理化方法的内容。对数学知识或一个数学体系公理化的目的，就是要根据本门学科所提供的内容，经过逻辑层次上的分析与整理，最后把它表述成一个演绎系统。
对于公理的选择，公理化方法提出了三个基本的要求：
1．协调性要求。
协调性又称相容性和无矛盾性。这一要求是指在一个公理系统中，不允许既能证明定理A成立，又能证明定理A的反面(逆定理)成立。如果在一个公理系统中可以同时推导出命题A与非A(否命题)同时成立，那么就可以说公理系统本身存在矛盾，这是公理选择和逻辑推证规则所不能允许的。应当注意，协调性是指一个理论体系中无矛盾，当同一对象在不同的直线理论系统时就可以不受协调性限制。例如，在平面几何中，“两条直线不平行必相交，不相交必平行”是真命题，而在立体几何中就是假命题，这显然是由平面与空间两个理论系统造成的。
2．独立性要求。
在一个公理系统中所选择的公理不允许有一条能用其他公理推导出来，也就是说公理系统中每条公理都应独立存在，这样可以使一个公理系统中的公理降低到最少的程度。一般来说，一个数学的公理系统中有可以被其他公理推导出来的公理并不会影响这个系统。在中学数学中，有时为了减少论证的复杂性，适应学生的学习需要，往往把一些定理也作为公理给出。不过作为公理的选择以及公理系统的建构，必须严格按照独立性的要求来选择公理。
3．完备性要求。
在一个公理系统中要有确保能够导出所论数学某分支的全部命题，换句话说，必要的公理绝不能减少，否则会使这个数学分支的某些真命题得不到理论上的证明。在公理的选择时，人们通常的作法是，发现公理系统不完备就补充一些公理。在中学及初等数学的实际教学中，由于运用的范围有限，常有一些公理并不列出，有时也运用直观来代替一些公理。从理论上说这样也许不妥，但从数学的阶段性及学生认识论证的层次上来说是完全可以的。
从理论层次上说，上述三个方面的要求是选择公理、构建公理系统时所必须遵守的，当然这三个方面的要求也是合理的。对于具体理论系统而言，尤其是对一个复杂的公理系统而言，有时要验证这三条要求是相当困难的，有时问题至今还未得到彻底实现。
运用公理化方法的手段对某门学科进行公理化，是人们追求的目标。在数学领域内几何学公理、算术公理和集合论公理是目前研究最深刻的。然而，哥德尔(K．Godel)证明，算术公理系统是不完备的，即在一个算术系统中，存在一个命题，该命题及其否命题在该系统中都不能被证明。这不能不算是对人们公理化信心的一个打击。
在人类数学的发展中，公理化方法曾发挥过重要的作用，在现代的科学技术进程中，公理化的思维方法也产生过重要的影响。公理化方法在方法论的意义上以及在数学教育的意义上都有着重要的作用。
1．公理化方法是加工、整理知识，建立科学理论的工具，可以帮助一门学科由经验知识阶段迅速地上升到一种理性结构阶段。
任何一门学科，都有一个逐步积累经验、知识、方法的过程。当一门学科的经验知识积累到一定程度的时候，人们就要从理论的层次上给予总结，并把它构造成一种逻辑的体系。换句话说，在任何知识达到一定程度之后，都有一个整理分析，使之条理化、系统化、理论构造化的过程。可以说能够胜任这项工作的最重要的方法之一，就是公理化方法。从数学理论发展的意义上看，从近代物理、化学等其他自然科学发展的历史分析，可以发现，公理化方法是使科学知识转变成科学理论体系的最有效的方法之一。
在近代群论的发展中人们可以发现公理化方法的作用。当群论发展时，人们在具体群特征的基础上寻找它们之间的公共规律，此时公理化方法表现出自己方法论意义上的重大作用。一种带有公理化特征的群论的问世，使群理论成为一种公理化的体系。这种公理化的群论，使研究对象有多种的解释(模型)，它可以是数、向量、多项式、函数、矩阵、晶体结构中的点，甚至可以看作是运用、变换等等。可以说，公理化方法使群的理论具有高度的抽象性，当然公理化方法也依赖群论的发展表现了自己的作用。
2．公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索各个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推动科学理论的发展。
例如，在数学史上，非欧几何的出现正是由于公理化方法运用的结果。人们在逻辑论证的意义上明确了第五公设是不可证明的公理之后，才开始设想引入一个新的公设来取代它，于是从逻辑上推导出第五公设不成立的一套全新的几何体系——非直观可以说明的非欧几何。可以说，公理化方法是新的几何体系的助产士，没有对公理的逻辑论证的不断研究，没有以公理化方法对第五公设的长期论证，就不会有非欧几何的问世。这个典型的例子说明了公理化方法在理论层次上推进科学发展的重要作用和意义。
3．公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借鉴意义。
数学中的各分支都经历过公理化的分析和讨论，其他学科沿用公理化方法的例子也不少，例如，NeWton仿射欧氏几何，把哥白尼到刻卜勒时期所积累的力学知识用公理化方法组成一个逻辑体系，使得能够从牛顿三定律(公理)出发，依逻辑方法把力学定律逐条推出。
4．公理化方法推动了结构主义的运用。
公理化的思维方法是对一个理论体系的基本概念、公理进行认真选择后，建立起的一个逻辑严谨的公理化结构的思维方法。这种思维方法在近代的发展就是由法国布尔巴基学派兴起的数学结构主义的运动。布尔巴基学派运用公理化方法，在20世纪30年代之后的约40年的时间内，对整个数学的基础理论进行了公理化形式的整理和划分。这个学派把数学的各分支中最重要的基本概念、最重要的出发点分离出来，并由此形成了结构主义的观点。布尔巴基学派认为整个数学是由最基本的代数结构、序结构和拓扑结构组成的，这些结构的不同组合就形成了不同的数学研究对象，这里当然包含复合结构、多重结构和混合结构等。
5．公理化方法有利于学生理解和掌握数学知识、数学方法，有利于培养逻辑思维能力。
数学教育的重要目的之一，就是要人们学会数学思维。因此可以认为，学习公理化方法可以提高数学教育的成效，它会培养和熏陶学生逻辑思维的能力。同时公理化方法揭示的数学内在结构性，也帮助人们从逻辑思维的层面去认识和理解数学，这种对数学的理解和认识也会极大地提高人们运用逻辑思维的能力。
总之，随着科学的不断发展，公理化方法的作用还在不断地扩大。
（第四节 ）演绎推理思想
演绎推理思想是从一般原理推出个别结论的逻辑思想方法。其特点是：在推理的形式合乎逻辑的条件下，运用演绎法从真实的前提一定能推出真实的结论。因此，演绎推理是一种必然性推理。
演绎推理法是数学论证表述的基本方法，这种方法在中学数学中有明显的体现。可以说，在中学数学中，演绎法可谓一统天下，无论是教材的编排，还是教师的课堂教学，甚至学生的解题过程，都在运用演绎推理。所有的这些都表明：第一，演绎法是数学中的一个重要的方法，无论是数学的教学、学习都应当高度重视演绎推理方法；第二，正确处理好演绎推理方法的教学方式，使学生可以比较容易地学习和运用演绎法。
演绎推理依据导出新判断(结论)的已知判断(前提)是否唯一或是否联言可分为直接推理与间接推理。而按前提与结论之间的结构关系则具体形式主要有三段论、假言推理、选言推理、关系推理等。在数学中最为基础而且应用较多的则是三段论，这里我们作简要的介绍。
