【教学目标】
一、理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质。
1.理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算。
2.能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化。
3.能利用有理指数运算性质简化根式运算。
二、通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力。
三、通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质。
【教学建议】
一、教材分析
1.本节的教学重点是分数指数幂的概念及其运算性质。教学难点是根式的概念和分数指数幂的概念。
2.由于分数指数幂的概念是借助n次方根给出的，而n次根式，n次方根又是学生刚刚接触到的概念，也是比较陌生的。以此为基础去学习认识新知识自然是比较困难的。且n次方根，分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解上也是比较困难的。基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点。
3.学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，为指数函数的研究作好准备。且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围，为对数运算的出现做好了准备，而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入。
二、教法建议
1.根式概念的引入是本节教学的关键。为了让学生感到根式的学习是很自然也很必要的，不妨在设计时可以考虑以下几点：（1）先以具体数字为例，复习正整数幂，介绍各部分的名称及运算的本质是乘方，让它与学生熟悉的运算联系起来，树立起转化的观点。
（2）当复习负指数幂时，由于与乘除共同有关，所以出现了分式，这样为分数指数幂的运算与根式相关做好准备。
（3）在引入根式时可先由学生知道的平方根和立方根入手，再大胆写出？4=16即谁的四次方根等于16。指出2和-2是它的四次方根后再把指数换成n，写成？n=a即谁的n次方等于a，在语言描述的同时，也把数学的符号语言自然的给出。
2.在n 次方根的定义中并没有将n次方根符号化原因是结论的多样性，不能乱表示，所以需要先研究规律，再把它符号化。按这样的研究思路学生对n次方根的认识逐层递进，直至找出运算上的规律。
【教学设计示例】
（板书）（第五节）指教
教学目标：
1.理解n次方根和n次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。
2.通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力。
3.通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想。
教学重点难点：
重点是n次方根的概念及其取值规律。
难点是n次方根的概念及其运算根据的研究。
教学用具：投影仪。
教学方法：启发探索式。
教学过程：
一、复习引入
今天我们将学习新的一节指数。指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展了。
下面从我们熟悉的指数的复习开始。能举一个具体的指数运算的例子吗？
以24=16为例，是指数运算要求学生指明各部分的名称，其中2称为底数，4为指数，24称为幂。
教师还可引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义。an=a·a·a…an（n∈N＋） 。然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出a0=0（a≠0）及a-n=1an（a ≠0，n∈N＋），同时追问这里a ≠0的由来。最后将三条放在一起，用投影仪打出整数指数幂的概念。
二、讲解新课
（板书）2.5指数
1.关于整数指数幂的复习
（1）概念
既然是一种运算，除了定义之外，自然要给出它的运算规律，再来回顾一下关于整数指数幂的运算性质。可以找一个学生说出相应的运算性质，教师用投影仪依次打出。
（2）运算性质：an·am=am＋n ；（am）n=amn ；（ab）n=an·bn 。
复习后直接提出新课题，今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围。在刚才的复习中我们已经看到当指数在整数范围内时，运算最多也就是与分式有关，如果指数推广到分指数会与什么有关呢？应与根式有关。初中时虽然也学过一点根式，但不够用，因此有必要先从根式说起。
（板书）2.根式
我们知道根式来源于开方，开方是乘方的逆运算，所以谈根式还是先从大家熟悉的乘方说起。
如42=16
如果给出了4和2进行运算，那就是乘方运算。如果是知道了16和2，求4，什么数的平方是16，求这个数。
问题也就是： 谁的平方是16 ，大家都能回答是4和-4，这就是开立方运算，且4和-4 有个名字叫16的平方根。
再如23=8
知3和8，问题就是谁的立方是8？这就是开方运算，大家也知道结果为2，同时指出2叫做8的立方根。
（根据情况教师可再适当举几个例子，如 ？4=9，？3=-8，要求学生用语言描述式子的含义，I再说出结果分别为±3和-2，同时指出它们分别称为9的四次方根和-8的立方根。）
在以上几个式子会解释的基础上，提出？n=a即一个数的n次方等于a，求这个数，即开n次方，那么这个数叫做a的n次方根。
（板书）（1） n次方根的定义：如果一个数的n次方等于a （n＞ 1，n∈N＋那么这个数叫做a的n次方根。
对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示，请同学们试试看。
由学生翻译为：若 xn=a（n＞ 1，n∈N＋ ），则x叫做a的n次方根。（把它补在定义的后面）
翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底，如结论中的a的n次方根就没有用符号表示，原因是什么？（如果学生不知从何入手，可引导学生回到刚才的几个例子，在符号表示上存在的问题，并一起研究解决的办法）最终把问题引向对a的n次方根的取值规律的研究。
（板书）（2） a的n次方根的取值规律。
先让学生看到a的n次方根的个数是由n的奇偶性决定的，所以应对n分奇偶情况讨论：当n为奇数时，再问学生a的n次方根是个什么样的数，与谁有关，再提出对a的正负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按a的正负分为三种情况。
Ⅰ当n为奇数时
a ＞0，a的n次方根为一个正数；
a＜0，a的n次方根为一个负数；
a=0，a的n次方根为零。（板书）
当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明n为偶数时的结论，再由学生总结归纳Ⅱ当n为偶数时
a ＞0，a 的n次方根为两个互为相反数的数；a＜0 ，a的n次方根不存在；
a=0，a的n次方根为零。
对于这个规律的总结，还可以先看a的正负，再分n的奇偶，换个角度加深理解。
有了这个规律之后，就可以用准确的数学符号去描述n次方根了。
（板书）（3）a的n次方根的符号表示。
可由学生试说一说，若学生说不好，教师可与学生一起总结，当n为奇数时，由于无论a为何值，n次方根都只有一个值，可用统一的符号na表示，此时要求学生解释符号的含义：a为正数，则na为一个确定的正数，a为负数， 则na为一个确定的负数，a为零，则na为零。
当n为偶数时，a为正数时，有两个值，而na只能表示其中一个且应表示是正的，另一个应与它互为相反数，故只需在前面放一个负号，写成 ±na，其含义为n为偶数时，正数的n次方根有两个分别为na和-na 。
为了加深对符号的认识，还可以提出这样的问题：na一定表示一个正数吗？ na中的 a一定是正数或非负数吗？让学生来回答，在回答中进一步认清符号的含义，再从另一个角度进行总结。nan为奇数时，它可为正，可为负，可为零n为偶数时，它应表示非负数。对于符号na，当n为偶数是，它有意义的条件是a≥0；当n为奇数时，它有意义的条件时 a∈R。
把na称为根式，其中n为根指数，a叫做被开方数。（板书）
（板书）（4）根式运算的依据。
由于na是个数值，数值自然要进行运算，运算就要有根据，因此下面有必要进一步研究根式运算的依据。但我们并不过分展开，只研究一些最基本的最简单的依据。
如（na）n应该得什么？有学生讲出理由，根据n次方根的定义，可得Ⅰ（na）n=a 。（板书）
再问：nan应该得什么？也得a吗？
若学生想不清楚，可用具体例子提示学生，如（-4）2=-4吗？3（-4）3=-4 吗？让学生能发现结果与 有关，从而得到Ⅱnan=an为奇数|a|n为偶数。（板书）
为进一步熟悉这个运算依据，下面通过练习来体会一下。
三、巩固练习
例1 求值
（1） （5（-0.1）5=-0.1。
（2） （-100）2=|-100|=100。
（3） （6（1-3））6=1-3。
（4） 6（1-3）6=|1-3|=3-1。
（5） a29-43ab＋4b2=（a3-2b）2=a3-2b=2b-a3。（a＜6b）
要求学生口答，并说出简要步骤。
四、小结
1. n次方根与n次根式的概念。
2.二者的区别。
3.运算依据。
五、作业
略
六、板书设计
2.5指数
（2）取值规律
（4）运算依据
1.复习
2.根式（3）符号表示例1
（1）定义
【习题精选】
（1）式子a-1a经过计算可得到 。
（A）-a（B）a
（C）-a（D）--a
（2）给出下列四个算式及运算结果：
①x=x16 ②xxx=x·6x
③xx3x=x23
④x2x·3x2=x56
其中正确的有
（A）1个（B）2个
（C）3个（D）4个
（3）要使式子14x2＋4x＋3＋（x-2）0-53x-5有意义，则x的取值范围是。
（4）若a23＋b23=4，x=a＋3a13b23，y=b＋3a23b13则（x＋y）23＋（x-y）23的值是。
（5） （x133x-2）85化成分数指数幂得。
（6）化简
①|y＋1|x2＋2xy＋y2÷（x＋yy＋1）-1（-x＜y＜-1） ；②（19）12·（3x2y-1）3（x3y-4）12（0.1）-2（x＞0，y＞0）。
（7）计算求值
①（212）12·（2＋5）-1·（10＋22）；② 33-32（13）-3（3-1）2-（13）12；③ （0.064）13-（-122）-2÷160.75＋（2-3）0。
（8）若102x=25则101-x的值为。
（9）若a2x=2-1，则a3x＋a-3xax＋a-x的值为。
（10）已知x12＋x12=3，求x32＋x-32-3x2＋x-2-2的值。
答案：
（1）D（2）A（3）（-∞，-3）∪（-1，2）∪（2，＋∞）
（4）8（5）x415 （6）①-1；②93100xxy （7）①5 ；②32 ；③52 （8）2
（9） 22-1 （10）13
【典型例题】
例1下列说法中正确的是。
（A）-2是16的四次方根
（B）正数的n次方根有两个
（C）a 的n次方根就是na
（D）nan=a（a≥0）
分析：从n次方根和n次根式的概念入手，认清各概念与各符号之间的关系。
解： （1）是正确的。由（-2）4=16可验证。
（2）不正确，要对n分奇偶讨论。
（3）不正确，a的n次方根可能有一个值，可能有两个值，而na只表示一个确定的值它叫根式。
（4）正确，根据根式运算的依据，当n为奇数时，nan=a是正确的，当n为偶数时，若 a≥0，则有nan=a，综上，当a≥0时，无论n为何值均有nan=a成立。
说明：此题主要目的是分清n次方根是什么和有几个，进一步明确根式进行简单运算的依据。
例2求下列各式的值。
（1） （-100）2； （2）（61-3）6 ；（3）6（1-3）6 ；（4） x2＋2xy＋y2。
分析：依照根式运算的两条规律，进行运算即可。
解：（1） （-100）2=|-100|=100。
（2） （61-3）6=1-3。
（3） 6（1-3）6=|1-3|=3-1 。
（4） x2＋2xy＋y2=（x＋y）2
=|x＋y|=x＋yx≥-y
-x-yx＜-y。
说明：根式运算要注意分清（na）n与nan ，此外对于nan的运算可以记为nan=an为奇数|a|n为偶数 ，这样先根据n的奇偶处理根式，再根据a的正负处理绝对值比较方便。
例3求下列各式的值。
（1） （0.027）23＋（27125）13-（279）0.5；（2） （7＋43）12-2716＋1634-2·（823）-1＋52·（425）-1；（3）（13）12＋3 ·（3-2）-1-（11764）14-（333）34-（13）-1。
分析：依照分数指数幂的运算法则，并结合概念来完成运算。
解：（1）原式=（0.33）23＋（12527）13-259=9100＋53-53=9100。
（2）原式=[（2＋3）2］12-（33）16＋（24）34-2·（23）23＋215·245
=2＋3-3＋8-8＋2=4。
（3）原式=312＋33-2-（8164）14-（323）34-31
=3＋3（3＋2）-[4（34）4］14-312-3
=3＋3＋6-2·34-3-3
= 6-342。
说明：在分数指数幂的运算中要注意把法则和概念结合起来，进行运算，并能根据具体题目选择最恰当的形式来完成运算。
