（3） a＞1时，x＞0
y＞1，0 ＜a＜1时，x＜0
y＞1
总结之后，特别提醒学生记住函数的图像，有了图，从图中就可以读出性质。
（三）简单应用。（板书）
1.利用指数函数单调性比大小。 （板书）
一类函数研究完它的概念、图像和性质后，最重要的是利用它解决一些简单的问题。首先我们来看下面的问题。
例1比较下列各组数的大小
（1） 1.3-27与1.3-25 ； （2） （22）43与 （22）32；（3） π2-3与1。（板书）
首先让学生观察两个数的特点，有什么相同？由学生指出它们底数相同，指数不同。再追问根据这个特点，用什么方法来比较它们的大小呢？让学生联想指数函数，提出构造函数的方法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用它的单调性比较大小。然后以第（1）题为例，给出解答过程。
解： ∵y=1.3x在（-∞，＋∞）上是增函数，且-2.7＜-2.5
∴1.3-27＜1.3-25 。（板书）
教师最后再强调过程必须写清三句话：
（1） 构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性。
（2） 自变量的大小比较。
（3） 函数值的大小比较。
后两个题的过程略。要求学生仿照第（1）题叙述过程。
例2比较下列各组数的大小
（1） （14）0.8与（12）1.8 ；（2） （87）37与 （78）512；（3） 1.080.3与0.983.1 。（板书）
先让学生观察例2中各组数与例1中的区别，再思考解决的方法。引导学生发现对（1）来说（14）0.8可以写成（12）1.6，这样就可以转化成同底的问题，再用例1的方法解决，对（2）来说（87）37可以写成（78）37，也可转化成同底的，而（3）前面的方法就不适用了，考虑新的转化方法，由学生思考解决。（教师可提示学生指数函数的函数值与1有关，可以用1来起桥梁作用）
最后由学生说出 1.080.3＞1，0.983.1＜1， 1.080.3＞0.983.1 。
解决后由教师小结比较大小的方法。
（1） 构造函数的方法： 数的特征是同底不同指。（包括可转化为同底的）
（2） 搭桥比较法： 用特殊的数1或0。
三、巩固练习
练习：比较下列各组数的大小（板书）
（1） （25）12与（0.4）-32；（2） （33）0.75与（3）-0.75 ；（3） （12）185与 845；
（4）（15）15 与（97）79。解答过程略四、小结
1.指数函数的概念。
2.指数函数的图像和性质。
3.简单应用。
五、板书设计
2.6指数函数二、图像与性质三、应用
一、指数函数的概念1.画图像的方法1.比较大小1.定义2.草图例1.
2.几点说明3.性质例2.
练习
【习题精选】
（1）下列函数中指数函数的个数是 。
①y=2·3x②y=3x＋1 ③y=3x④y=x3
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个（2）已知f（x）的定义域为（0，1），则f（3x）的定义域为。
（3）当x＜1时，ax-1＞1（a＞0，a≠1） ，则a的取值范围是。
（4） 若a＞1，-1＜b＜0，则函数f（x）=ax＋b的图像一定不在第象限。
（5） 已知函数f（x）=ax＋b的图像过点（1，3），又其反函数的图像过点（2，0），则函数f（x）的解析式为。
（6）函数f（x）=ax与g（x）=ax-a 的图像大致是。
（7）函数y=22x-5·2x＋1＋1的最小值为。
（8）函数f（x）=a-b3x2-5x-2（b＞1）的单调递增区间是。
（9）计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，现在价格为8100元的计算机，则9年后的价格为。
（A）2400元（B）900元（C）300元（D）3600元（10）已知 0.9＜a＜1，x=a9，y=ax，试比较a，x，y的大小。
（11）已知关于x的方程2x-1＋2x2＋a=0有两个实数解，则实数a的取值范围是。
（12）试比较am＋a-m与an＋a-n（m＞n＞0，a＞0，a≠1）的大小，并加以证明。
答案：
（1）B（2）（-∞，0） （3）（0，1） （4） 四（5）f（x）=2x＋1 （6） D（7）-916 （8）-∞，56（9）A（10）x＞y＞a （11）a＜12（12）当a＞1时，am＋a-m＞an＋a-n，当0＜a＜1 时，am＋a-m＞an＋a-n。
【典型例题】
例1 求下列函数的定义域
（1） y=2x2-1；（2）y=（13）3-x；（3） y=2x＋1；
（4） f（x）=1-ax（a＞0，a≠1）。
分析：求定义域时要特别注意与指数式有关的式子有意义的条件。
解： （1）x∈R ；（2）由3-x≥0得 x≤3； （3）x∈R；（4）由1-ax≥0得ax ≤1，当a＞1时，x≤0；当0＜a＜1时x≥0 。
说明：在这种题目中若遇到底数含有字母的不等式的求解时，注意分为a＞1和 0＜a＜1两种情况进行讨论，求解时，可借助相应的指数函数图像来帮忙。
例2比较下列各组数的大小：
（1） （74）0.1和 （74）0.2；（2） （34）16和 （43）15；
（3） 0.8-2和 （53）12；
（4） a13和 a12，（a＞0，a≠1） 。
分析：当两个幂形数、底数相同时，要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数，借助函数的单调性来比较大小。
解： （1）y=（74）x在（-∞，＋∞）上是减函数，又-0.1＞-0.2，故（74）0.1＜（74）0.2 。
（2） （34）16=（43）16 ，由y=（43）x的单调性可得，（43）16＞（43）15 即
（34）16＞（43）15 。
（3）由0.8-2＞ 1而 （53）12＜1，可知 0.8-2＞（53）12 。
（4）当a＞1时，a13 ＜a12 ，当0＜a＜1时，a13 ＞a12 。
说明：此题中第（3）小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值，此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小，而（2）小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂，可构造指数函数来比较大小。
例3（1）指数函数①f（x）=mx②g（x）=nx满足不等式1＞n＞m＞0，则它们的图像是 。
分析：此题应首先根据底数的范围判断图像的升降性，再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线。
解：由0＜m＜n＜1可知①②应为两条递减的曲线，故只可能是（C）或（D），进而再判断①②与n和m的对应关系，此时判断的方法很多，不妨选特殊点法，令x=1，①②对应的函数值分别为n和m，由m＜n可知应选 C。
（2）曲线C1，C2，C3，C4分别是指数函数y=ax，y=bx，y=cx和y=dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是。
（A）a＜b＜1＜c＜d（B）a＜b＜1＜d＜c（C）b＜a＜1＜c＜d（D）b＜a＜1＜d＜c分析：首先可以根据指数函数单调性，确定c＞1，d＞1，0＜a＜0，0＜b＜1，在 轴右侧令x=1，对应的函数值由小到大依次为a，b，c，d，故应选 （D）。
说明：这种类型题目是比较典型的数形结合的题目，第（1）题是由数到形的转化，第（2）题则是由图到数的翻译，它的主要目的是提高学生识图、用图的意识。
例4（1）函数y=-2-x的图像一定过象限。
（2）函数f（x）=ax-1＋3的图像一定过定点P，则P点的坐标是。
（3）函数y=3-x与的图像关于y轴对称。
分析：此题涉及有关图像变换，搞清图像平移和对称变换是解决此题的关键。
解： （1）y=-2-x=-（12）x ，它可以看作是指数函数y=（12）x图像作关于x轴对称的图像，因此一定过第三象限和第四象限。
（2） f（x）=ax-1＋3的图像可以看作把f（x）=ax的图像向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到，且f（x）=ax一定过点（0，1），则f（x）=ax-1＋3应过点（1，4）。
（3）图像与y=3-x关于y轴对称的函数为y=3x。
说明：通过此题要求学生明确f（x）=ax＋m＋n与f（x）=ax两个函数图像之间的关系及体现在图像上任意一点的坐标之间的变化规律。
例5 （1）函数y=34-5x-x2的单调递增区间是。
（2）函数y=（14）x-（12）x＋1（-3≤x≤2）的值域为。
分析：应利用换元法研究这类题目，而且要注意二次函数相关知识的配合使用。
解： （1）令u=4-5x-x2=-（x＋52）2＋414，显然当x∈-∞，-52时，由y=3u是增函数，此函数是单调递增的。
（2）令u=（12）x，由-3≤x≤2，得14≤u≤8 。
则y=u2-u＋1=（u-12）2＋34，14≤u≤8 。
当u=12即x=0时，y 有最小值34，当u=8即x=-3时，y有最大值57。
∴函数的值域为 34，57。
说明：第（2）小题通过换元把问题转化为闭区间上二次函数的值域问题，这种转化的方法是处理类似问题非常重要的方法，应引起关注，且换元时应注意中间变量的取值范围。
例6世界人口已超过56亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口相当于一个。
分析：这是指数函数的应用问题，根据题意列出函数解析式后再进行相应的计算。
解： 两年增长的人口应为560000（1＋1‰）2-560000 ≈1120（万），所以应选（D）。
说明：与指数函数相关的应用问题较多，如放射性物质的蜕变、人口增长、利率等，遇到类似问题时，应能主动调动指数函数相关知识来解决。
例7已知y=ax＋a-x2，a＞0，a≠1。试把y=y2-1用含x的式子表示出来，并化简。
分析：此题涉及指数式的变换和分类讨论的使用。
解： 由y=ax＋a-x2
可知y2=14（a2x＋a-2x＋2），y2-1=14（a2x＋a-2x-2）=14（ax-a-x）2 ，∴y＋y2-1=
ax＋a-x2＋12|ax-a-x
当x＞0时，若a＞1，则ax＞a-x，此时 y＋y2＋1=ax，若0＜a＜1，则ax＜a-x，此时y＋y2＋1=a-x。
当x=0时，y＋y2＋1=1 。
当x＜0时， 若a＞1，则ax＜a-x，此时 y＋y2＋1=a-x，若0＜a＜1，则ax＞a-x，此时y＋y2＋1=ax。
说明：此题中涉及对根式的化简，绝对值的概念及指数函数单调性的使用，特别是对x和a的讨论要分清楚。
