如果在一个时刻只有一个电子被发出通过狭缝，人们会以为，每个电子只穿过其中的一条缝，这样它的行为正如同另一个狭缝不存在时一样——屏幕会给出一个均匀的分布。然而，实际上即使电子是一个一个地发出，条纹仍然出现，所以每个电子必须在同一时刻通过两个小缝。当入射电子流强度较小时，电子可以一个一个地通过双缝而发生干涉。这时在屏幕上出现一个一个亮点，显示出电子的粒子性，但它们是无规律随机分布的。然而随着入射电子数目的增多，逐步在干涉实验底片上呈现出有规则的干涉图样，显示出电子的波动性，当强电子流在短时间内入射时得到相同的干涉图样。电子的波动性质是由单个电子在多次实验中或由多个电子在一次实验中，以统计结果的形式表现出来的。有些地方出现的概率大，即出现干涉图样中的“亮条纹”；而有些地方出现的概率却可以为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。在电子双缝干涉实验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布。
波函数振幅的平方表示在单位体积中发现一个粒子的概率，称为概率密度。光的干涉和衍射实验表明，物质波不是经典概念下的波，而是概率波。因为波函数是复数，而概率却必须是实正数，所以波函数振幅的平方，即概率密度为|φ|2=φφ*。
由于概率不会在某处发生突变，所以波函数应满足：单值、连续、有限的标准化条件。波函数应满足归一化条件：整个空间内发现粒子的概率为100％。
波函数所代表的是一种概率的波动。量子力学并不对一次观测预言一个单独的确定结果。代之，它预言一组不同的可能发生的结果，并告诉我们每个结果出现的概率。也就是说，如果我们对大量的类似的系统作同样的测量，每一个系统以同样的方式起始，我们将会找到测量的结果为A出现一定的次数，为B出现另一不同的次数等。人们可以预言结果为A或B的出现的次数的近似值，但不能对个别测量的特定结果作出预言。因而量子力学为科学引进了不可避免的非预见性或偶然性。
这虽然只是人们目前对物质波所能做出的一种理解，然而波函数概念的形成正是量子力学完全摆脱经典观念、走向成熟的标志。波函数和概率密度是构成量子力学理论的最基本的概念。
2．量子力学处理微观问题的方法
薛定谔把原子系统中的能级理论、德布罗意的物质波思想以及哈密顿的经典力学与几何光学的数学相似性思想结合起来，形成了波动力学概念，建立了薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律。薛定谔方程在量子力学中的地位犹如牛顿运动定律在经典力学中的地位。
量子力学中最核心的问题就是要找出在各种具体情况下描述系统状态的各种可能的波函数。这个问题由薛定谔提出的波动方程得以圆满解决。薛定谔方程为H^＝ih-ψt式中，φ为波函数，哈密顿算符（也称能量算符）为H^=-h-2m▽2＋U（r）
拉普拉斯算符为2＝2x2＋2y2＋2y2。
可见薛定谔方程是一个二阶偏微分方程。我们只要知道势能函数U（r）以及初值条件和边值条件，就可以得到波函数，进而求出粒子在空问分布的概率密度。这就是量子力学处理微观粒子运动问题的方法。
1926年以前，海森伯、玻恩、约当等人创立的矩阵力学与波动力学是平行地发展起来的。这一年薛定谔和海森伯证实了矩阵力学和波动力学的等价性，指出这两种力学在数学上则是完全等价的，可以通过数学变换从一个理论转换到另一理论。这两种理论统一了起来，称为量子力学。1927年薛定谔与狄拉克共同获得诺贝尔物理学奖。
量子力学与实验符合得很完美。它的的确确成为一个极其成功的理论，并成为几乎所有现代科学技术的基础。它制约着晶体管和集成电路的行为，而这些正是电子设备，诸如电视、计算机的基本元件。它并且是现代化学和生物学的基础。它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，在原子、分子、固体物理、核物理等领域中被广泛应用。
隧道效应及其应用
1．隧道效应
在两块金属（或半导体、超导体）之间夹一层厚度约为0.1nm的极薄绝缘层，构成一个称为“结”的元件。设电子开始处在左边的金属中，可认为电子是自由的，在金属中的势能为零。由于电子不易通过绝缘层，因此绝缘层就像一个势的壁垒，将它称为势垒。
当粒子能量小于势垒高度时，仍有一部分粒子穿过势垒到达区域右侧导体，这种现象称为隧道效应。这一结论是经典理论不可能得到的。因为按经典理论，电子是不可能通过像绝缘层一样的势垒的。可见，粒子的隧道效应是微观粒子的量子力学行为，宏观粒子是不会发生隧道贯穿效应的。
隧道效应已完全被实验证实。例如：置于两超导体之间厚度约为1nm的绝缘体对电子形成一个势垒，但是实验测得有电流通过隧道，这就是超导隧道效应。
隧道效应在现代技术中得到广泛应用，例如隧道二极管、约瑟夫逊隧道结、扫描隧道显微镜等。下面介绍扫描隧道显微镜。
2.扫描隧道显微镜
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm。只要将具有原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近（<1nm）时，它们的表面电子云就可能重叠。若在样品与针尖之间加一微小电压叽，电子在外电场作用下就会穿过两极间的绝缘层流向另一极，产生隧道电流，并通过反馈电路传递到计算机上表现出来。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。
第一台STM是由美国IBM公司的宾尼和罗里尔在1982年发明的，它的显微分辨率超过电子显微镜数百倍，达到0.1nm。利用sTM可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子阵列。可以直接绘出表面的三维图像。使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。STM在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。
量子计算机
由于量子计算机的效率和运算速度是传统计算机无法比拟的。量子计算机将引起计算机理论领域的革命。目前，量子计算机将进人工程时代，有关量子计算机的理论和实验正迅猛发展。
传统计算机都是集成式电子计算机，它的集成度大约以每3年翻两番的速度发展。随着集成度的提高，集成电路的尺寸就要缩小。目前存储器集成电路的线宽已细到0.1μm，这样细的电路，被认为是集成电路的发展极短，当集成电路缩小到其中的独立的元件只有几个原子这么大的时候，就导致了一个新问题的出现。因为在原子级上支配着电路的行为和性质的物理规律是量子力学，而不是经典物理定律。质子、电子等亚原子粒子的波动性必须考虑。这时会出现种种新的物理现象，称为量子效应。利用量子效应工作的电子元件称为量子元件，由量子元件进一步就可构成量子计算机。量子计算机是一种遵循量子力学规律并且用量子算法进行高速数学和逻辑运算、存储及处理量子信息的装置。
传统计算机信息的基本单位是比特，它在数字计算机中的经典表示形式为“0”或“1”。采用二进制存储方式。在量子计算机中，信息的基本单位叫做量子比特或昆比特，它不是二进制的。一个量子比特不仅可以以对应于经典比特的“0”、“1”逻辑状态的状态存在，而且还能够以对应于传统比特位的混合或重叠状态存在。
换句话说，一个量子比特的存在状态可以是“0”、“1”或同时作为“0”“1”出现，并且用数字系数表示每种状态出现的概率。也就是说一个电子旋转的方向同时反复存在于某种状态，这就有条件去对它进行测量和观察。举例来说，作为普通计算机存储形式0和1的替代，量子计算机中的字节（量子比特）可以是三分之一个一或者是三分之二个零，也可以是其他任意的组合。量子比特具有这种性质的直接原因是因为它遵循了量子力学规律来工作，从而实现计算机具有惊人的运算与存储功能。量子计算机的量子比特可以在不受外部环境影响的状态下，通过量子间的相互作用来进行类似因式分解那样的特定运算，其运算速度与传统计算机相比呈指数倍提高。
1994年已经研制出一台最为基本的量子计算机。2000年日本开发成功“单个电子晶体管”，可以控制单个电子的运动，具有体积小，功耗低的特点，比目前功耗最小的晶体管低约1000倍。日本正在开发量子元件超高密度存储器，在1cm2面积的芯片上，可存储10万亿比特的信息，相当于可存储6000亿个汉字。美国开发成功的电子自旋晶体管，有可能将集成电路的线宽降至0．01μm。在一个小小的芯片上可容纳数万亿个晶体管，使集成电路的集成度大大提高。美国科学家已获得量子态，即能够比以前更准确地控制原子进、出量子态，这是制造量子计算机的重要一步。
尽管目前量子计算机的研究仍处于实验室阶段，但不可否认终有一天它必然会取代传统计算机。到那时，可以将原子计算设备嵌入到人体、桌子、汽车等任何东西当中去。传统计算机行业和与之相关的产业必然会受到巨大的冲击。尽管现在这些还只是科学幻想中的故事，但在不久的将来会变为事实。
