刘徽是中国古代最伟大的数学家，生平与籍贯不详，生活于公元3世纪，他的学术活动在山东、河南、河北一带进行，有数学史专家说他是山东人。他生于魏晋时代，最主要的著作是《九章算术注》和《海岛算经》两部。2002年，中国邮电部发行刘徽纪念邮票，刘徽已被世人公认为最杰出的文化名人之一。
一、发明割圆求π的算法
刘徽之前，中国取π=3，刘徽指出π=3太失真，应该用π的更为近似的值来取代3。刘徽发明了割圆术，求得了π≈3．1416来替代了粗糙的π=3。史学家阮元在《畴人传》中说：“徽创以六觚之面割之又割，以求周径相之为率，厥后祖冲之更开密法，仍是割之又割耳，未能于徽法之外，另立新术也。”
事实上，如图1所示，若AB=an是正n边形的边长，AB"=a2n是正2n边形的边长，设O是圆心，半径为1，C是OB"与AB之交点，则由勾股定理，得。
OC=12-(an22)，CB"=1-1-an24
AB"=a2n=(an2)2+(CB")2
=(an2)2+(1-1-an24)2
=2-4-an2
即得递推公式
a2n=2-4-an2，a2n2=2-4-an2，n≥6a6=1
刘徽运用他的高超的求算术平方根的技巧和耐心细致的计算工夫求得a3072的值，再用正3072边形的周长3072a3072代替圆周长，求得π=3.1416。割圆求π的过程是在“内接正多边形的周长nan，当n无限变大时的极限即为圆周长”的原始极限思想指导下进行的。
由于在单位圆中的弦弧比之极限limx→0sinxx=1。所以单位圆的周长S与其内接正n边形之周长Sn之比，当n→∞时极限为1，即limn→∞Sn=S，所以当n足够大时，内接正n边形的周长Sn≈S。
二、发觉了无理数的存在
刘徽在求有理数的算术平方根的运算实践过程中，察觉到无理数的存在。刘徽说：“凡开积为方，方之自乘当还复其积分。令不加借算而命分，则常微少；其加借算而命分，则又微多。其数不可得而定。故以面命之，为不失耳。”
刘徽所说的“方”指正有理数的算术平方根，“积”指被开方数，他是借用“正方形面积为边长自乘”中的“积”字，即a×a=S中，S为积，a为方。当时中国数学家还不明确无理数为何物。所谓“其数不可得而定”，指由S用求过剩近似值(加借算)和不足近似值(不加借算)的办法求不出S的用有理数表达的平方根来。刘徽把这种数S称为“面”，可见刘徽的“面”的概念即指犹如2，3，6，12之类的无理数。
事实上，如S是一个正整数，若不存在另一整数s，使得s2=S，则S是一个无理数；若这时S=qp。
其中p>1，qp是既约分数，则把p与q进行素因数分解得
p=p1p2…pm，q=q1q2…qn
其中p与q皆素数，则
S=q12q22…qn2p12p22…pm2
由此看出分子上q1，q2…qn中含有p1，p2…pm，因为只有如此才能使得q12q22…qn2p12p22…pm2约分后得到整数S，此与qp=q1q2…qnp1p2…pm是既约分数相违。
刘徽的“数感”极为灵敏，他在开方运算中领悟到这种“不可得而定”的无理数的存在，但有一关刘徽没有通过，即数学地严格证明这种无理数的存在性。事实上，如果S当真是某有理数s平方的结果，但s是100100位有尽小数，由于没有那么多时间进行不加借算与加借算的S近似开方，一位一位小数地确定出s来，所以当你进行了非常之多的小数点后精确有效数字的确定之后，只要没有确定出第100100位小数的有效数字，你就不敢宣布这个数S是“面”。
三、别出心裁证勾股
刘徽巧妙地构作了如图2的勾股定理的证明图，利用他贯用的“面积割补法”对勾股定理进行了“无字证明”。
刘徽主张“析理以辞，解体用图”。
在证勾股定理时，刘徽用的图2真可谓天衣无缝。
四、针对具体题目，设计有效算法
《九章算术》中有一题曰：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”见图3。
刘徽注曰：“此以池方半之，得五尺为勾，水深为股，葭长为弦。以勾及股弦差求股弦。故令勾自乘，先见矩幂也。出水者，股弦差。减此差于矩幂则余之。倍差为此幂之广，水深是股。令此幂除倍出2尺为广，故得水深也！”
刘徽此言写成算法，即水深=b=a2-(c-b)22(c-b)=52-122×1=12(尺)葭长为12+1=13(尺)。
不难验证刘徽的算法公式与勾股定理是等价的，即b=a2-(c-b)22(c-b)等价于c2=a2+b2。
可见b=a2-(c-b)22(c-b)是勾殷定理的另一种形式(写法)。在大数学家刘徽手里，数学公式如掌中皮球，随心所欲，拿捏得变换无穷，形变而质不变。
印度数学家婆斯加罗在其著作中曾引用了《九章算术》中此题目，只是把葭翻记成了莲，把a改成2尺，把c-b改成了0.5尺，代入c-b=0.5，a=2，按刘徽公式即得所求之水深。令人猜测是否是印度人“东天取经”，把我国的《九章算术》的刘徽注本于公元13世纪传入印度？他们还为此题吟诗一首：
莲花问题
湖平浪静出新莲，五寸婷婷露笑颜。
孰意风狂玉枝倒，忍看花色没波涟。
渔翁秋后寻根源，根距残花2尺边。
借问群英贤学子，水深多少在当年？
在《九章算术》中，每题之后刘徽皆加了一个“注曰”，这个“注曰”即刘徽为该题设计的算法。算法的故乡在中国，刘徽是算法的开山鼻祖。
五、巧解不定方程组
《九章算术》中有一名题：“五家共井”。题曰：“今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠，如各得所不足一绠，皆逮。同井深、绠长各几何？”
刘徽是识破此题为解不唯一的所谓不定方程的第一人。
按现代的记号，设甲乙丙丁戊的绠(井绳)之长分别为x，y，z，u，v，井深为h，这是6个未知数，我们只能由题意列出5个方程的方程组：
2x+y=h3y+z=h4z+u=h5u+v=h6v+x=h
抄出它的增广(含右端系数)矩阵为
xyzuvh210001031001004101000511100061
经行的初等变换，即某行的若干倍加到某行，得
7210000265072100019100721001480007210129000072176
于是
721x=256h721y=191h721z=148h721u=129h721v=76h
解得
xh=265721，
yh=191721，
zh=148721，
uh=129721，
vh=76721
取井深h=721，则得x=265，y=191，z=148，u=129，v=76，这是最小的正整数解，按实际考量，应取寸为长度单位，把这组解中的每个数同乘以k，k>0，则所得各数仍为h，x，y，z，u，v之解。
六、建立勾股数公式
三个正整数x，y，z，满足z2=x2+y2时，称x，y，z为一组勾股数。
《九章算术》中有一题曰：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步，而斜东北，与乙会。问甲乙行各几何？”见图4。
刘徽给出此题解法的高招如下：设甲速率为m，乙速率为n。a，b，c为勾股弦(如图4)，则
a+cb=mn
m与n互素（mn既约），于是可得
a∶b∶c=m2-n22∶mn∶m2+n22(1)
此乃刘徽首创的世界上第一个关于勾股数的公式，即m与n互素时（m2-n22，mn，m2+n22）是勾股数组。用m=7，n=3，a=10代人公式(1)，则可求得b与c，从而解得甲乙的行程。
七、建立不可及物高度与距离的测量算法
在刘徽的名著《海岛算经》中，给出了求海岛高的测量计算公式
岛高=表高×表间后表却行-前表却行+表高（2）
岛去表=前表却行×表间后表却行-前表却行(3)
图5中，AH是岛高，BC，DE是等高的两个标杆，刘徽分别称为“前表”与“后表”。“两表”相距BD为“表间”，前表却行指BF，后表却行指DG。HB是“岛去表”。
事实上，由于AH∥BC，所以
BCAH=BFHF(4)
由于ED∥AH，所以
EDAH=DGHG(5)
由公式（4）、公式（5）及DE=BC得
AH=BC×HFBF=BC×GHDG
从而
HFBF=GHDG
HB+BFBF=HB+BD+DGDG
HBBF=HB+BDDG
进而得
HB×DG=BF×HB+BF×BD
HB(DG-BF)=BF×BD
HB=BF×BDDG-BF
即公式（3）成立。
由于
AH=BC×HFBF
又由于HF=HB+BF，于是
AH=BC×(HB+BF)BF=BC×(BF×BDDG-BF+BF)BF
=BC×(BDDG-BF-1)=BC×BDDG-BF+BC
即公式(2)成立。
《海岛算经》是运用几何理论去解决各种测量难题的专著。
八、建立关于基本立体堑堵、阳马和鳖臑的体积公式
图6中ABCD-A"B"C"D"是一个直四棱柱，底面ABCD是矩形，称直三棱柱D"C"-ABCD为“堑堵”；在图6(b)中，堑堵上的一块D"-ABCD称之为“阳马”，“阳马”是一侧棱与底面垂直的底为一矩形的四棱锥；图6(b)中的每面皆直角三角形的四面体D"-BCC"称为“鳖臑”。刘徽建立了下面两个定理。
刘徽定理1
堑堵体积=12（长×宽×高）
刘徽定理2
邪解堑堵，一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑为一，不易之率也。即把堑堵割分成的阳马与鳖臑的体积之比为2∶1。
刘徽把一个多面体割分成若干子体积，使得每个子体积皆可求，其中往往是割分成若干堑堵、阳马或鳖臑，从而可以求得整个立体的体积。
九、等幂等积定理和牟合方盖的刘徽公式
高等数学为中有一道名题：“求两个底圆半径相等的直交圆柱面所围的立体之体积。”
1700多年前，刘徽首先研究此题，他把此立体称为“牟合方盖”，因为它酷似河北省乐亭县一带用高梁杆的细篾编成的蝈蝈笼子而得名，“牟”即蝈蝈、蟋蟀等会鸣叫的昆虫，“合”即笼子，刘徽得到公式为V合V球=4π。
其中V合是牟合方盖的体积，V球是牟合方盖内切球的体积，见图7。
刘徽与后人祖暅分别独立地发现了所谓刘徽祖暅等幂等积定理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。”
用现代的语言来讲，就是若用任意平行于给定平面的平面截两个有界立体，除有限个截面外，若所得两个截面(即幂)面积相等，则两立体体积相等。
这是一个含有丰富的微积分思想的定理，用现代符号来表达就是：若V1与V2是两有界立体，用平行于YOZ平面的平面来截V1与V2，所得截面积分别为A1(x)与A2(x)，若除有限个点xi(i=1，2，…，n)之外，皆有A1(x)=A2(x)，则V1=∫baA1(x)dx=∫baA2(x)dx=V2。
其中a与b分别是两立体的最低点与最高点(设x轴与水平面垂直)。
在两人下中国象棋时，把吃掉的棋子摞成等高的两摞，则会造成除两摞等高处相邻的棋子重合的公共面积可能不等外，其余高度上的水平截面相等的现象，而两摞的体积显然是相等的，都与一个用棋子摞成的圆柱体积一样，这就是刘祖定理的原型。
刘徽与祖暅已经行至微积分的大门口，再迈过那道门槛就可以登堂入室了，是什么原因阻止了中国数学家向高等数学攀登的脚步呢？
刘徽用他自己创立的等幂等积定理(他们当时并未证明这一定理成立)研究牟合方盖的体积，他用任一水平平面截牟合方盖和它的内切球(不妨设造成牟合方盖的两圆柱的轴是水平的)，则截面分别是正方形和这个正方形的内切圆，设此内切圆半径是r，则两者的面积比为A1∶A2=(2r)2∶πr2=4∶π。于是，由刘祖等幂等积定理得V合V球=4π(6)。
至此刘徽面临求出V合与V球之一的公式，则由公式(6)可算出另一个体积的公式。当时中国数学家对V合与V球的公式都未建立起来。刘徽虽经努力，也未求得V合或V球，他不失大数学家的学者风度，谦虚地说：“欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能者言。”后来“能言”终于降生，他就是祖冲之之子祖暅，祖暅运用勾股定理和刘徽祖暅等幂等积定理成功地求得V合，从而完成了先辈刘徽的未竟之业。
十、伟大的平民数学家
刘徽是一位杰出的平民数学家，过去人们一提到中国数学家，似乎无人不知祖冲之的。但对刘徽其人其事则不知者大有人在，究其原因，是否与刘徽是未入朝为官的平民数学家而祖冲之是四品朝官有关呢？为什么刘徽这么大的成就，而其生平不详呢？
其实，刘徽虽未入仕途，但政治对数学的影响他却看得很透，他在《九章算术注·序》中写道：“往昔暴秦焚书，经术散坏！”对于数学，在中国长期封建社会当中则是“好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。”刘徽旗帜鲜明地揭穿了封建制度对科学的残暴破坏和只重视培养封建帝王之奴才的腐朽教育制度的可恶之处。所谓“通才达学”者，是指只读孔孟之道宣传对皇帝愚忠愚孝的迂腐文人。刘徽生活在魏晋时代，他对曹操的凶残，刘备的虚伪，孙权的奸诈和司马家族的阴险，比现代人有更为深切的感受。三国与魏晋的统治者，把争权争霸放在首位，文人大都以学而优则仕为荣，刘徽不贪官场之荣华富责，潜心数学研究，淡泊名利，耐得住寂寞，他在数学上硕果累累，实乃后人做人做学问之楷模。
刘徽不仅是应用数学的专家，而且对深刻的数学理论，亦有精深之研究成果。割圆求π时他指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这些话分明是在谈当n趋于∞时，圆内接正多边形之周长以圆周长为极限。刘徽的面的概念里显然含有用有理数列逼近无理数的思想。对于有理数，刘徽说：“一者，数之母。”他已明确指出：由1通过+-×÷可以生成有理数域。
刘徽主张“析理以辞，解体用图”的研究方法，既重视逻辑推理的“析理以辞”，又强调直观几何意义而“解体用图”。
当然，刘徽也有明显的时代烙印，凭他的理论水平和算法水平，他完全可以自立门户，写出自成体系的理论与实际相结合，纯数学与应用数学合璧的伟大数学著作，而不只限于为《九章算术》作注和一本《海岛算经》。是否受到当时“学有所止”、“述而不作”等中庸之道与过分谨慎的社会风气的影响，就不得而知了。
