一、毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580年-公元前500年)是泰勒斯的传人，生于希腊东部的萨摩斯岛。他年轻时代游历过埃及、巴比伦等文化与科学发达的地区。他是载入史册的古希腊第二位杰出数学家，第一位是比毕达哥拉斯大50岁左右的泰勒斯。毕达哥拉斯在意大利的克伦吞成立了一个秘密组织，那是一个集科学、宗教与哲学于一身的帮会性质的学术团体，称为毕达哥拉斯学派。该学派的门徒们继承本学派的宗旨，存在了两个世纪之久。这个团体明显地拥护贵族政治，反对民主思想，当时它在爱琴海、地中海和亚德里亚海沿岸地区的影响很大，意大利的民主力量对毕达哥拉斯恨之入骨。
毕达哥拉斯在世时，该学派有男女成员300多名，毕达哥拉斯允许妇女参加学术活动，这在当时是一种开明之举，例如她的学生西雅娜(Theano)就是毕达哥拉斯学派中的女才子，是一位极富数学天才的女科学家，嫁毕达哥拉斯为妻。
这个学派内部实行学阀式独裁，入伙成员必须把个人财产全部归本学派集体所有，每个人的发明创造皆声称是毕达哥拉斯的成果，毕达哥拉斯一时十分得势，公元前430年，希腊银币上就铸有毕达哥拉斯的头像。毕达哥拉斯学派有铁的纪律，规定一切服从毕达哥拉斯，违背者处死。
毕达哥拉斯学派在数学上的信条是“万物皆数”。他们所说的数仅指正有理数。他们认为10是完美无缺的，因为1+2+3+4=10，称1，2，3，4为“四象”，认为10是人的灵魂。加入毕达哥拉斯学派的人宣誓仪式上的誓词的第一句是：“我谨以赋予我们灵魂的“四象”之名宣誓。”毕达哥拉斯学派的观点是，整数是人与自然界各种性质的基础，为研究人类和宇宙，必须首先深入研究整数。他们这个学派十分重视教育，且把算术、几何、音乐和天文规定为四大基础课，号称“四艺教育”。
二、毕达哥拉斯学派的算术成果
毕达哥拉斯学派是数论(number theory)的开山鼻祖。
1.亲和数
毕达哥拉斯学派规定1是自然数n的因数，而n不是n的因数。一对数n1与n2，若n1的全体因数之和等于n2，n2的全体因数之和等于n1，则称n1与n2是一对亲和数。
例如，284与220这一对数满足：
284的全体因数为1，2，4，71，142
1+2+4+71+142=220
220的全体因数为1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
所以284与220是一对亲和数。
毕达哥拉斯说：“亲人就是另一个自我，犹如220与284一样。”
毕达哥拉斯学派赋予亲和数以人性化和神秘化的色彩，甚至有几分迷信的成分。他们把220与284做成两枚“护身符”。如果一人甲配戴220护身符，另一人乙配戴284护身符，就表示甲乙二人是生死与共、同甘共苦的亲友。
亲和数对是很难寻找的一对自然数，直到13世纪末14世纪初才发现了另一对亲和数为
17296，18416
1886年，16岁的意大利少年帕加尼尼(Paganini)发现了一对亲和数
1184，1210
1747年，瑞士大数学家欧拉(Euler)找出30对亲和数。后来，欧拉又找到另外30对亲和数。
阿拉伯数学家考拉(Korrah)给出了一个亲和数对公式：
若x>l，x∈N，a=3×2x-1，
b=3×2(x-1)-1，c=9×22x-1-1
若a，b，c皆素数，则2xab与2xc是一对亲和数。x=2时，得亲和数对220与284。目前已经找到数以千计的亲和数对，其中最大的一对为111448537712，118853793424。
寻找亲和数对仍然是数论中的难题之一。
2.完全数
毕达哥拉斯学派把一个整数各因数之和大于、小于或等于这个整数时，分别称这个整数为过剩数、不足数或完全数。例如6=1+2+3，所以6是完全数。28=1+2+4+7+14。所以28也是完全数。
在欧几里得《几何原本》中证明了下面命题：
若2n-1是素数，则N=2n-1(2n-1)是完全数。
今日称2n-1形素数为梅森素数。
现成已知211211(211212-1)是一个完全数，它是一个6751位的天文数字，已经不便把它抄写在纸上。
1936年3月27日，联合通讯社播发了一则激动人心的报道，宣布芝加哥大学的克利格(krieger)博士发现了一个155位的完全数N，他用了5年时间证明了它当真是完全数：
Nk=26，815，615，859，885，194，199，148，049，996，411，692，
254，958，731，641，184，786，755，447，122，887，443，528，060，146，
978，161，514，511，280，138，383，284，395，055，028，465，118，831，
722，842，125，059，853，682，308，859，384，882，528，256。
事实上，Nk=2256(2257-1)，难点是证明2257-1是素数。
欧几里得公式N=2n-1(2n-1)给出的是偶完全数，至今无人找出一个奇完全数，又不能证明有无奇完全数。
较小的完全数是：
6=2(22-1)，28=22(23-1)
496=24(23-1)，8128=26(27-1)
1985年，用巨型计算机验证了
2216090(2216091-1)
是完全数。至今已验明的完全数也只有几十个，主要困难在于检验2n-1是否是素数。
3.形数
三角形数n3
第n个三解形数是
n3=1+2+3+…+n=12n(n+1)
正方形数n4
第n个正方形数是
n4=n2
由于n4=n2=12n(n+1)+12(n-1)n，可第n个正方形数是第n个三角形数与第n-1个三角形数之和，见图24。
△ABC对应的为n3，△A"B"C"对应的是(n-1)3，正方形ABCB"对应的是n4。
五边形数n5
n5=1+4+7+10+…+(3n-2)
=［1+(3n-2)］n2
=［n+(3n-1)］2
=n+［3n(n-1)］2
=n+3(n-1)3
即第n个五边形数是n与3个第n-1个三解形数之和，见图25。
从图25上我看到一个n5分解成△ABC，△A"B"C"，△A"B"C"与线段DE上的点数，这3个三角对应的三角形数是(n-1)3，CD上的点数是n，所以n5=3(n-1)3+n。相似地可以讨论n6，n7，…。
三、毕达哥拉斯学派的毕达哥拉斯定理及第三次数学危机
勾股定理最早的发现者是巴比伦人，他们大约在公元前19世纪就发现了这一重要定理，中国独立于巴比伦人在公元前11世纪发现了勾股定理，但第一个证明勾股定理的人是毕达哥拉斯，他的证明用的是面积法，见图26。
图26中的三角形全等，于是得出c2=a2+b2。
传说毕达哥拉斯学派发现且证明出勾股定理的那一天，宰了百头牛祭天，后人亦称此定理为“百牛定理”。
毕达哥拉斯学派还发现自然数a=12(m2-1)，b=m，C=12(m2+1)是一个直角三角形的勾、股、弦，其中m是奇数，称12(m2-1)，m，12(m2+1)为毕氏三数或毕氏勾股数。但毕氏三数不是勾股数的全体。所谓勾股数是指3个正整数a，b，c，使得a2+b2=c2。
中国的商高说勾3、股4、弦5，即3、4、5是一组勾股数。而且可以证明这组勾股数是唯一的连续3个正整数组成的勾股数组。
如果(a，a+1，c)是一组勾股数，则(3a+2c+1，3a+2c+2，40+3c+2)也是一组勾股数。事实上，
(3a+2c+1)2=9a2+4c2+1+12ac+4c+6a
(3a+2c+2)2=9a2+4c2+4+12ac+8c+12a
(4a+3c+2)2=16a2+9c2+4+24ac+12c+16a(12)
又因a，a+1，c是勾股数，则以a2+a2+2a+1=c2，即
c2=2a2+2a+1(13)
把式(13)代入式(12)：
(3a+2c+1)2=9a2+4(2a2+2a+1)+12ac十4c+6a+1
(3a+2c+2)2=9a2+4(2a2+2a+1)+12ac+8c+12a+4
(4a+3c+2)2=16a2+9(2a2+2a+1)+24ac+12c+16a+4
于是得
(3a+2c+1)2+(3a+2c+2)2=(4a+3c+2)2
即(3a+2c+1，3a+2c+2，4a+3c+2)是一组勾股数。
上面结果告诉我们，从一组给定的两条直角边之长差1的一组勾股数出发，例如从(3，4，5)=(a，b，c)出发，用(3a+2c+1，3a+2c+2，4a+3c+2)可以抄出无穷多组直角边长差l的勾股数组。
对于每个n≥3的自然数，皆存在一条直角边为n的直角三角形。事实上，若n是奇数，则毕氏三数组(n，n2-12，n2+12)是一组勾股数；若n为偶数，则(n，n24-1，n24+1)是一组勾股数，因为n是偶数，n≥4，n24-1，n24+1皆正整数，且(n24-1)2=n416-n22+1，(n24+1)2=n416+n22+1
于是n2+(n24-1)2=n2+n416-n22+1=n416+n22+1=(n24+1)2。即(n，n24-1，n24+1)确为勾股数组。
公元前470年，毕达哥拉斯学派主要成员，毕达哥拉斯的学生希帕苏斯(Hipasus)向毕达哥拉斯提出怎样求边长为1的正方形的对角线长的问题。如图27所示。根据毕达哥拉斯自己建立的百牛定理，在直角三角形△ABC中，x2=AB2=AC2+BC2=12+12=2。
x是什么数，它的平方才等于2呢？按毕达哥拉斯万物皆有理数的观念，x是一个有理数qp，qp是既约分数，于是q2p2=2，2p2=q2。
从而知q是偶数，q≠0，设q=2k，k是正整数，于是2p2=(2k)2=4k2，p2=2k2。
从而知p是偶数，p≠0，设p=2ι，则qp=2k2ι此与qp是既约分数相违。
由此人们看穿了毕达哥拉斯关于“万物皆数”的观念是错误的。而毕达哥拉斯的关于“万物皆数”的观点已为当时广大民众与所有数学家所接受。一方面已证明单位正方形的对角线长不是有理数，按毕达哥拉斯的观点，这条对角线的长度就不是数！这当然更是不能接受的结论；另一方面，毕达哥拉斯学派对数的观念已是根深蒂固，一时岂能承认那种传统的观念会有问题呢！这就陷入极大的矛盾之中，形成了所谓第一次数学危机。
据说当时毕达哥拉斯学派的全体成员正在爱琴海上泛舟集会，希帕苏斯的挑战性问题把毕达哥拉斯和学派全体成员弄得十分尴尬，大家当即决定禁止把这一问题泄漏出去，后来希帕苏斯还是把这些事透露了出去，结果希帕苏斯被毕达哥拉斯派人抛入大海，葬身鱼腹！
后人歌颂希帕苏斯是“科学的星座”，“历史证明了真理的胜利，在神奇的数学王国的宫墙上，永远铭刻着希帕苏斯的名字”。
第一次数学危机之后，人们觉悟到除整数和分数之外，还存在着别样实数。由于对这种“怪实数”的接受并不情愿，于是给它起了个难听的名字——无理数。
数学中闹危机也不是什么坏事，这第一次数学危机，接生了无理数；数学危机是会下金蛋的鹅。
公元前425年，毕达哥拉斯学派的狄奥多鲁斯继希帕苏斯址明2是无理数之后，证明了3、5、6、7、8、10、11、12、14、15、17也是无理数。
以17是无理数为例，17=qp、qp是既约分数，于是17=(qp)2=(q1q2…qm)2(p1p2…pn)2(14)。
式中p1，p2，…，pn与q1，q2，…，qm是素数，则因式(14)右端可约分得17，{p1，p2，…，pn}{q1，q2，…，qm}。
即qp可约分，不是既约分数，与假设qp是既约分数相违，故17不是有理数，是无理数。
毕达哥拉斯学派的贡献是大量的和多方面的，由于他们的学派有一条对学术成果秘而不宣的规定，所以该学派几乎没留下什么著作，但他们的历史作用是不可低估的。他们发扬光大了泰勒斯的“论证数学”的思想，是古希腊数学发展的奠基者。
