柯西(Cauchy，1789-1857年)生于巴黎，其父弗朗索瓦是拿破仑政权上议院秘书长，也是巴黎大学法学院的高材毕业生，他的朋友中除了当朝的高官外，还有包括拉格朗日和拉普拉斯等世界顶尖数学家。一日拉格朗日和拉普拉斯到弗朗索瓦家串门，他们看到幼年的柯西在作业本上的演算和图示，当着在坐的不少上议院议员的面，这二位客人直说：“此子必将是一个了不起的人才，我们这些可怜的几何学家将会被他取而代之。”
柯西果然非等闲之辈，16岁考入巴黎理工大学，就读于道路桥梁学院，毕业后当了一名建筑工程师。1809年，获该校桥梁工程大奖。
1810年，柯西去瑟堡就任拿破仑港的工程师，但这时他已对工程技术与数学两者之间的取舍进行了重要调整。事实上，先是由于他对拉格朗日和拉普拉斯的崇敬，便在去工地的行囊中携带了拉格朗日的名著《解析函数论》和拉普拉斯的大作《天体力学》。柯西业余时间阅读了这两部当时为数学与自然科学的顶尖著作，产生两种感觉：一是觉得自己对当时数学的最前沿成果可以无师自通；二是觉得自己对数学的爱好超过了其他一切事物。于是一发而不可收，放弃了工程师的职业，宁可生活清苦也要搞数学研究。
1811年，柯西第一篇数学论文发表。1812年，柯西的第二篇数学论文发表。这是两篇关于多面体的文章，文中证明了刚性面的凸多面体是刚性的，犹如三角形具有稳定形状一样。当时著名数学大师勒让德(Legendre)十分欣赏柯西的这两篇文章。1815年，26岁的柯西获法国科学院数学大奖。
从1816年起，柯西任巴黎理工大学、巴黎大学和法兰西学校数学教授，且当选为法兰西研究院和巴黎科学院院士。之后柯西曾先后到瑞士、布拉格、都灵等地从事科研教学活动。
1838年，法国国王查理十世授予柯西男爵封号。
1857年5月12日，柯西染患流感，5月22日病逝，享年68岁。除当选巴黎科学院院士外，柯西还获英国皇家学会会员、哥本哈根皇家学会会员、哥廷根皇家学会会员、柏林科学院院士、彼得堡科学院院士、斯德哥尔摩科学院院士、爱丁堡皇家学会会员等终身荣誉称号。
柯西是19世纪数学分析严格化的最有成就的大数学家之一，复变函数论的奠基人。在常微分方程、偏微分方程、群论、数论、解析几何与微分几何等数学学科中，都有重大创造。
在微积分方面，柯西的代表作有：
①《分析教程》，1821。
②《无穷小分析教程概论》，1823。
③《微分计算教程》，1829。
在柯西的著作当中，对极限、无限小、函数连续性、级数收敛性、导数与微分、定积分、微积分基本定理和中值定理，都有开创性的精辟论述。
关于极限，柯西说：“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差要多小就多小，那么最后这个值就称为所有其他值的极限。以0为极限的变量即无限小量。”
关于函数的连续性，柯西写道：“设f(x)是变量x的函数，且设介于两个给定的限之间的每个x值，该函数总有一个唯一的有限值。如果在这两个给定的限之间有一个x值，当变量x获得一个无限小增量α，函数本身将增加一个差量f(x+α)-f(x)。
这个差依赖于新变量α与原来的变量x的值。然后，如果对变量x在两个给定限之间的每个中间值，差f(x+α)-f(x)的绝对值都随α的无限减小而无限减小，那么就说函数f(x)是变量x在这两个限之间的一个连续函数。换言之，函数f(x)在给定限之间关于x保持连续。如果在这两个限之间变量的每个无限小增量总产生函数f(x)本身的一个无限小增量。进一步，我们说函数f(x)是变量x在x的某个特殊值的邻域内的连续函数，如果它在包含该x值的任意接近的两限之间连续。”
关于级数收敛性问题，柯西指出：“一个序列是量u0，u1，u2，u3…的一个无限延续，其中各量按某个确定的法则分别先后。设Sn=u0+u1+u2+…+un-1。是该序列的前n项之和。如果Sn随n的增大而趋向一个确定的极限，那么就说这个级数收敛，这个极限叫做该级数的和。
反之，如果部分和Sn随n的增大并不趋向任何确定的极限，则该级数是发散的，它没有和。
级数u0+u1+u2+…+un+un-1+…
收敛的充分必要条件是：当n无限增大时，和Sn=u0+u1+u2+…+un-1趋向一个确定的极限。换句话说，该级数收敛的充分必要条件是：对于无限大的n值，和Sn，Sn+1，…与有限数S之差，从而它们互相之间的差，是无限小量。”
此言之中含有数学分析中的一个基础性的原理——柯西收敛原理：
序列S1，S2，S3，…，Sn，…收敛的充分必要条件是，对每一个正数ε，存在N，使得当n>N，m>N时，｜Sn-Sm｜<ε。
关于导数和微分，柯西用极限来定义。
如果函数y=f(x)在变量x的两个给定限之间连续，并在这两个限之间指定变量的一个值，那么这个变量的一个无限增量△x将产生函数本身的一个无限小增量。设△x=h，则列差商△y△x=f(x+h)-f(x)h。
中的分子分母两项均为无限小量。虽然这两项同时趋于零，但比值本身却可能收敛于另一个极限。这个极限，如果存在的话，对每个特殊的x值都将有一个确定的值，但这个值将随着x的变化而变化。这样，例如我们取f(x)=xm，m是一个(正）整数，则无限小差的比将是(x+h)m-xmh=mxm-1+m(m-1)1·2xm-2h+…+hm-1。
其极限等于mxm-1，也就是说这是变量x的一个新的函数。同样的事实普遍成立，只是作为比f(x+h)-f(x)h的极限的这个新函数的形式将随已给函数y=f(x)的不同而不同。为了表明这种依赖关系，我们称这个新函数为导函数，并用带撇的符号y"或f"(x)来表示它。
设y=f(x)是一个独立变量x的函数，h为一个无限小量，k是一个有限量，且设h=ak，那么a是一个无限小量。同时有恒等式。
f(x+h)-f(x)h=f(x+ak)-f(x)ak
因此得
f(x+ak)-f(x)a=f(x+h)-f(x)hk(28)
当a趋于零而k保持不变时，式(28)的极限叫做函数y=f(x)的微分，我们用符号d来表示这个微分，记成dy或df(x)。
如果我们已知导函数y"或f"(x)的值，那就很容易得到微分的值。事实上，这时df(x)=kf"(x)。在f(x)=x的特殊情形，df(x)=dx=k。
对于定积分，柯西的定义如下：
设函数y=f(x)关于变量x在两有限界限x=x0与x=X之间连续，我们用x1，x2，…，xn-1表示x的位于这两个限之间的一些新值，并假设它们在第一个限与第二个限之间或者总是递增的，或者总是递减的。我们可以用这些值把差X-x0划分成元素。
x1-x0，x2-x1，x3-x2，…，X-xn-1。
这些元素都有相同的符号，我们将每个元素与该元素左端点所对应的f(x)的值相乘，即元素x1-x0乘以f(x0)，元素x2-x1乘以f(x1)，…，元素X-xn-1乘以f(xn-1)，设。
S=(x1-x0)f(x0)+(x2-x1)f(x1)+…+
(X-xn-1)f(xn-1)
S将依赖于
(1)差被分成的元素个数n；
(2)这些元素的值，从而也就依赖于所采用的划分方法。
如果这些元素的值变得非常小而数n变得非常大，那么划分方法对S的值将没有实质性影响。
这样，如果我们让这些元素的值随着它们的个数的无限增加而无限减少，那么就一切实用的目的而言，S的值最终将变成常数，或者说，它最终将达到一个确定的极限，这个极限值仅依赖于函数y=f(x)和边界值x0与X，这个极限叫做f(x)的定积分。
关于定积分的计算，柯西建立了微积分基本定理，他说：“在定积分∫xx0f(x)dx中，我们假设两个积分限之一，例如X是可以变的，积分的值将随这个量的变化而变化。如果用x来代替这个现在已成为可变的积分限X，我们得到x的一个新函数。
F(x)=∫xx0f(x)dx
由公式
∫xx0f(x)dx=(X-x0)f(x0+θ(X-x0))
可得
F(x)=(x-x0)f(x0+θ(x-x0))，θ∈［0，1)
F(x0)=0
由公式
∫Xx0f(x)dx=∫ξx0f(x)dx+∫xξf(x)dx，
ξ∈［x0，X］
可得
∫x+αx0f(x)dx-∫xx0f(x)dx=∫x+αx0f(x)dx=αf(x+θα)
F(x+α-F(x)=αf(x+θα(29)
如果f(x)从x=x0到x=X保持有限且连续，把式(29)两端除以α且通过取极限可得。
F＇(X)=f(x)
即F(x)=∫xx0f(x)dx作为x的函数，其导数是被积函数f(x)。
柯西还建立了“柯西中值定理”：
(1)设f(x)是变量x的一个实函数，且在x=x0与x=X之间关于该变量连续。若f(x0)与f(X)符号相反，则在x0与X之间至少有一个x的值满足f(x)=0。
(2)若函数f(x)与F(x)在闭区间［a，b］上连续，在(a，b)内可导，且F＇(x)在(a，b)内不取零值，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)F(b)-F(a)=f＇(ξ)F＇(ξ)。
柯西对微积分的严格化，做了一系列重要工作，后经外尔斯特拉斯等数学家的进一步改进，为数学分析建立了稳固的理论基础，结束了几百年微积分的混乱局面，彻底排除了第二次数学危机。
柯西去世后，搜集到他的论文800多篇，出版了《柯西全集》26大卷，其数量之丰富，质量之高，仅次于欧拉。在数学史上，柯西是一位有崇高地位的数学大师。
柯西这位名垂青史的科学家，在宗教上与政治上有他的强烈观念。他是一个忠实的保皇派，毕生效忠于波旁王朝，为波旁王朝的复辟积极活动。1852年，柯西公开致函巴黎理学院院长，拒绝宣誓效忠于拿破仑，声明他继续效忠于波旁王室。但是正是推翻了波旁王朝的法国大革命为科学事业也为柯西的科研工作创造了社会条件，柯西的保皇派立场是不可取的。
柯西的宗教信仰也很顽固，他主张政教合一，他公开主张“天主教事务应由正统派独揽”。所谓正统派，就是包括柯西在内的拥护波旁王室的政治派别。柯西积极参与天主教院的创建，1842年，任该院秘书。他的宗教狂热和政治倾向在当时科学界很不得人心，虽然柯西待人彬彬有礼，但与科学院的同事关系冷淡，显得十分孤立怪诞，有人说柯西是历史上“最不可爱的科学家之一”。据说柯西的教学工作搞得很差，教学效果不尽如人意。
柯西对年轻有为的天才数学家态度冷漠，没有给予应有的提携与帮助，例如对于阿贝尔那篇关于椭圆函数论的划时代的论文，送柯西审稿时被束之高阁，一直等到阿贝尔去世才写了一些不公正的评价了事。而对天才数学家伽罗瓦关于代数方程的两篇送审论文，柯西竟把人家这些珍贵手稿给弄丢了！
