庞加莱(Poincare，1854-1912年)是20世纪最伟大的数学家之一，生于法国南锡。他曾被同学误认为是一个笨拙的孩子。
事实上，庞加莱的真正兴趣不在于下棋玩牌时胜出小朋友，而在于思考高智力的数学趣题。庞加莱从小诚实、正直、公平待人直至终生，一生是人们信赖的好人。他记忆迅速持久，而且富有想象力和直觉的能力；思考问题时，注意力绝对集中，可以不受外界的任何干扰，具备成功者的一切素质。
庞加莱1873年考入法国综合工科学校。1879年获数学博士学位。1881年任巴黎大学教授，主讲力学与实验物理学课程。33岁当选法国科学院院士。在34年的科学生涯当中，发表了500多篇创造性论文，出版30种学术专著，几乎涵盖了纯数学与应用数学的所有领域。其中庞加莱最重大的成就是在微分方程定性理论方面。他是现代常微分方程的开山鼻祖。他对天体力学与电动力学亦有极其重要的贡献。庞加莱是19世纪后四分之一和20世纪初世界数学界的领袖。对所处时代的全部数学都有创造性的掌握和开创性的贡献，庞加莱是能达到这种地步的最后一位神圣人物了。
1912年6月26日，庞加莱猝死于心肌梗塞，年仅58岁，他的座右铭是：“人生就是持续的奋斗。”
著名数学家沃尔泰拉致悼词说：“我们看到，庞加莱的一生没有片刻的休息，永远是一位朝气蓬勃的、健全的科学斗士，直至他的逝世。”
庞加莱在学术上是一个征服者，但不是一个“殖民者”。他是一位能与高斯媲美的全才数学家，生前获得过法国政府的最高荣誉奖，还得过英、俄、瑞士、匈牙利等国的政府奖。他担任过法国和其他国家科学院院士头衔达30多个。他的名著译成十几种文字在全世界大量发行。如果他生前赶上数学界中与诺贝尔奖同水平的菲尔兹奖和沃尔夫奖，那么庞加莱随便拿出他的部分成果，就可以达到足够每样大奖各得10次的水平。
1881年，1882年，1885年和1886年，庞加莱在《数学杂志》上用同一标题《关于由微分方程确定的曲线的报告》发表了4篇了不起的论文。当时科学界研究天体运动问题方兴未艾，其中天体满足的非线性微分方程的解不可能用已知函数明显地表达出来，当时已证明有的方程(例如dydx=x2+y2)是不存在用初等函数的积分表达的解。天体运动轨道的性态及其稳定性等亟待回答的问题已不能指望通过方程解的表达式来获得。
庞加莱的上述一组论文严格证明可以从方程本身找到答案，而不必求解(大部分也求不出解来！)。庞加莱说：“我要解答的问题是，动点是否描出一条闭曲线？它是否永远逗留在平面某一部分内部？换句话说，并且用天文学的话来讲，轨道是否稳定？”
1881年是常微分方程定性理论的历史元年，庞加莱是定性理论之父。
庞加莱深刻指出：“由微分方程所定义的函数的完整理论对纯数学与力学中的许多问题都是有用的。然而，在多数情况下，显然用已知函数去积分表达这些方程的解根本不可能。因此，如果局限于那些可以通过积分处理的情形，那么可以研究的领域将非常之有限，而且应用中出现的大量问题也将无法解决。”
“因此，有必要研究微分方程所定义的函数本身，而不企图将其化简到比较简单的函数。这类似于我们研究代数函数时遇到的情形，先前人们试图将其简化成根式，而现在人们大都直接对其进行研究。在研究微分方程时，也是如此。对一个函数的研究，包括两个部分：
(1)定性部分，或者说该函数所定义的曲线的几何研究。
(2)定量部分，或者说该函数的函数值的计算。
例如研究代数函数时，用施图姆(Sturm)定理找到实根个数，这是定性部分，接着计算这些根的数值，这就是对函数进行定量研究。
构造微分方程定义的曲线，这一步定性研究一旦完成，将有利于函数的数值计算。”
庞加莱继续说：“定性研究本身也是非常有趣的事。事实上，许多极为重要的分析与力学的问题，都可化成定性研究。
例如三体问题，人们可以问，是否三体之一将始终逗留在天空的某一特定区域，或者它是否会消退于无穷？也可以问，是否三体中某两体之间的距离将无限地增大或缩小，或者保持有界？这种类型的问题可以问上一千个，然而一旦人们定性地构造出三体问题的运动轨道，它们将全部得到解决。
以上问题给几何学家展现了一个广泛的研究领域，在此，我不想面面俱到，而只想涉及它的前沿。我想把自己局限于一个非常特殊然而却最自然的情形，即考虑一阶微分方程。
dxX=dyY
式中X，Y是x，y的多项式。”
庞加莱把方程式写成方程组
dxdt=X(x，y)
dydt=Y(x，y)
认为（x·（t）），y·(t))是xOy平面上的一个速度向量，此向量在t时刻是(X(x(t)，y(t)))，Y(x(t))，y(t)))。xOy平面称为相平面，其上是一个“向量场”（X（x，y），Y(x，y)），即任给一个点（x，y），该点的速度向量为（X（x，y），Y(x，y)）。欲求一曲线x=x(t)，y=y(t)，使其上每一点的切线恰与该点上向量场的向量同向，此曲线称为方程组的一条轨线。
在向量场（X(x，y)，Y(x，y)）的指引下，动点从一点出发沿确定的轨线运行，当一点（x0，y0）满足。
X(x，y)=0
Y(x，y)=0
时，在此点，x·=y·=0，动点失去速度，迷失了方向，这种点（x0，y0）称为方程组的奇点。
例如，若X(x，y)=-y+x［1-(x2-y2)］，Y(x，y)=x+y［1-(x2+y2)］，这时点（0，0）满足
-Y+x［1-(x2+y2)］=0x+y［1-(x2+y2)］=0
所以点(0，0)是方程组
dxdt=-y+x［1-(x2+y2)］(30)
dydt=x+y［1-(x2+y2)］(31)
的奇点。
庞加莱研究定性理论时，往往采用极坐标，令
x(t)=r(t)cosθ(t)
y(t)=r(t)sinθ(t)
因为
x2(t)+y2(t)=r2(t)
两端对t求导得
2xx·+2yy·=2rr·
xx·+yy·=rr·
而由式(30)与式(31)得
xx·+yy·=x［-y+x(1-(x2+y2))］+
y［x+y(1-(x2+y2))］
=(x2+y2)［1-(x2+y2)］
所以
rr·=r2(1-r2)
r·=r(1-r2)(32)
又由tanθ=yx，θ=arctanyx，两端对t求导得
dθdt=11+(yx)3
ddt(yx)
=x2x2+y2-y·x-x·yx2
=1x2+y2{x［x+y(1-(x2+y2))］-y［-y+x(1-(x2+y2))］}
=1
由θ·=1知，轨线绕原点逆时针无穷地旋转。
图49
由r·=r(1-r2)知r=1是一条轨线，即单位圆是一条闭轨，按逆时针运行，见图49。
由方程r·=r(1-r2)知，在闭轨r=1之内出发的轨线之向径随t之增加单调递增趋于1；在r=1之外的轨线随t之增加单调递减趋于1。当t→+∞时，r=1两侧的轨线皆以r=1为渐近线，庞加莱把这种闭轨称为稳定极限环。
从此例我们可以看到，奇点(0，0)附近的轨线分布特点是，当t→-∞时，轨线趋于点(0，0)，这种奇点庞加莱称为不稳定焦点。
庞加莱建立了极限环的存在定理：
若Ω是一个环域，其中无奇点，Г1与Г2分别是Ω的内外边界。当t增加时，Г1与Г2相交的轨线皆流入Ω内，则Ω内至少存在一个外侧稳定和一个内侧稳定的极限环。
庞加莱的定性理论是动力系统这门学科的生长点。他是一位直觉主义的强有力的倡导者，他认为“逻辑用于论证，直觉用于发明”。他是一位颇具哲学家气质的数学家。
