一、李冶的生平
李冶(1192年-1279年)，河北栾城人，原名李治，为避免与唐高宗李治同姓名，把“治”字去了一点，改名李冶。李冶是一位清高好学的大学问家，对封建皇权政治深恶痛绝。李冶年轻时代正值金朝衰败，皇家与官僚穷奢极欲，挥金如土，国库空虚，物价飞涨，军力不振，民不聊生，奸臣当道，滥杀无辜。李冶生于河北有名的书香门第，父亲李遥是当时有名的学者，为人为官清正廉明。在良好家教之下，李冶从小养成了勤奋正义的品格。在李冶看来，那些权势虽大，品学兼劣的官人富豪乃人间垃圾，他认为“万贯家产不及薄技在身”。
1232年，蒙古军攻陷陕西，当时已是金朝头名进士的李冶既不愿为金朝也不愿为元朝统治者效力，隐居山西崞山，虽无薪俸收入，“饥寒不能自存”，仍潜心研究数学。1251年，转移到河北封龙山聚徒讲授数学，在山上筹建封龙书院，广收学子，办教育，搞研究，李冶号称“龙山老人”。1248年，李冶在封龙山上写成数学名著《测圆海镜》。1259年，又在山上写出《益古演段》一书。在这两部著作中，李冶创造且发展了天元术，把几何问题化成高次代数方程。李冶指出，代数即天元。
李冶隐居深山二十余年，写出两部数学史上的名著，正所谓世道混沌，退而不仕，隐身免留千载笑，成书还待十年闲。
元朝建国后，元世祖忽必烈多次聘请李冶出山，许以高官厚禄，李皆以老病推托，“宁与封龙山的市人木石为伍”，不愿为皇家效力。忽必烈曾向李冶请教如何治国平天下，李冶告诉忽必烈说，治国平天下，可能比登天还难，也可能易如反掌。如果依法治国，不图虚名，多为百姓办实事，信任贤能而清退奸臣庸吏，治理天下岂不是易如反掌吗；反之，若国无法治，只图表面上歌功颂德而不办实事，听信奸臣污吏的谗言而排斥有识之士，这样统治天下，要想不失败岂不比登天还难吗？
李冶不仅是一位天才的数学家，而且也是一位颇有政治家风度的学者。事实上，李冶青少年时代曾饱学诗书，对文学、历史学也很有研究和见解，人称李冶“经为通儒，文为名家”，对社会科学修养极深。
李冶见忽必烈求贤若渴，于是于1265年答应到北京翰林院工作，没料到翰林院思想禁锢，事事处处要秉承皇帝的御旨，没有半点言论自由。李冶是崇尚独立思考的数学家，岂能唯唯诺诺盲从天子之命。无奈在封建主义统治之下，李冶徒有铁笔亦难肩道义，勉强干了一年的那种朝廷命官，便毅然托病辞官隐退，回封龙山去过他喜欢的“露浓山月净，荷老野塘寒”的茅屋布衣生活，以便专心从事数学研究，从此不再出山，在山上从事教学科研一直到87岁高寿而终。史学家对李冶盖棺定论：“讲学著书，秘演算术，独能以道德文章，确然自守，至老不衰。”
李冶自己对天元术在中国的发扬光大也至死不移，他临终遗言曰：“吾平生著述，死后尽可燔去，独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者，庶可布广垂永乎？”数学史证明，李冶及其《测圆海镜》确实永垂不朽，后世“知者”大有人在，成了数学上的宝贵典籍。
李冶时代的儒家学派把研究数学的人视为“玩物丧志”，把数学贬之为“九九贱技”。李冶在《测圆海镜》序中批判当时那种鄙视数学的社会思潮，同时身体力行，他明知“悯我者当百数，其笑我者当千数”，但他仍“未尝一日废其业”，把一本《测圆海镜》写得博大精深，开天元术之先河，不论是数理，还是文字表达水平，皆堪称当时世界之最。李冶又反对故意把数学写得令人难懂，他的《益古演段》一书是深入浅出地论述数学的样本。他的著作数理严谨，通而不俗，是数学科学的大雅之作，又为广大学子所喜闻乐读。
美国数学史家萨顿在其著作中称李冶是金元时代中国最伟大的数学家之一。时至今日，仍有中外许多学者研读李冶的著作，例如巴黎大学的林力娜写了一篇关于《测圆海镜》的论文，通过了博士论文答辩而获数学博士学位。
1992年，中国举行了李冶诞生800周年纪念大会，并在河北栾城建立了李冶陈列馆，李冶已被中外学术界公认为历史文化名人。
二、李冶的天元术
李冶之前，中国数学家用“人”表示常数项，未知数x的各次幂x，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x7，x8，x9，x-1，x-2，x-3，x-4，x-5，x-6，x-7，x-8，x-9分别用“天”“上”“高”“层”“垒”“汉”“霄”“明”“仙”“地”“下”“低”“减”“落”“逝”“泉”“暗”“鬼”等“文词”来表示，李治则把这种古怪的“文词代数”改造成“符号代数”，把未知数称为“天元”（现在我们用x来表示未知数）。例如412x2-x+136-248x-2=0，李治记成斜杠表示该系数是负的，“〇”表示该系数是零。
16世纪，法国数学家韦达引入拉丁字母表示数，比李冶的上述“算筹式”表示法晚了300年左右。
李冶的天元术是指对实际问题(例如几何问题)所求的未知数记成天元(现在用x表示之)，再由题意列出一个以天元为未知数的代数方程，进而解此代数方程这一整套数学过程。他用天元术处理的方程有的系数很大，有的次数达到6次以上，例如他讨论过以下10个方程：
1．-x2+320x-132800+13056000x-1=0
２．x2-170x+6000=0
３．-2x2-560x+384000=0
４．0.5x2-820+230400=0
５．-0.4375x5+766.5x3-165963x2-252393120x+60989241600=0
６．-2x6-714x5-62165x4-22203023+82926810x2+1725602816x+51336683776=0
７．-x3+320x2-132800x+13056000=0
８．63x4-15792x3+1336328x2-46428480x+553190400=0
９．-4x5+3600x4-1256400x3+105840000x2=0
李治把上式化成
-4x3+3600x2-1256400x+105840000=0
１０．-x4+8640x2+652320x+4665600=0
在《益古演段》中有一题如下：
今有圆田一段，中心有直池水占之，外计地七千三百步，只云并内池长阔少田径五十五步，阔不及长三十五步，问三事各多少？
题中所指三事指池的长与阔和圆的直径。
当时取圆周率为π=3，于是圆田总面积为34x2，其中x是圆的直径长(以步为单位，每步5尺)。于是内池面积为0.75x2-7300。
若a，b分别表示水池的宽与长，如图19（a），则由勾股定理c2=a2+b2，而由图19（b）得
4×(12ab)+(b-a)2=c2=a2+b2
2ab+(b-a)2=a2+b2
a2+b2-(b-a)2=2ab
a2+2ab+b2-(b-a)2=4ab
(a+b)2-(b-a)2=4ab
由题意
a+b=x-55，b-a=35
(x-55)2-352=4ab=4(34x2-7300)
2x2+110x-31000=0
由此解得x。解得x后再由方程组
a+b=x-55b-a=35
即得a与b。
李治不止一次地把几何与代数结合（“几何即勾股”）用天元术解决实际问题，例如《益古演段》上又有一题：
“今有圆田一段，中心有直池水占之，外计地五千七百六十步。只云从外田东南楞至内池西北角，通斜一百一十三步，其内池阔不及长三十四步，问三事各多少？”
按题意，AE=113（步），游AF=CE，设CE=x（天元），则圆O直径为EF=113+x。圆面积为3（EF2）2=34(113+x)2，四个圆O的面积为（见图20）
3（113+x）2=3（12769+226x+x2）=3x2+678x+38307
又已知圆O面积减去一池面积为（外计地）5760，所以四池面积为
4圆O面积-4×5760=3x2+678x+38307
令AC=c，AB=b，BC=a，由勾股定理（见图19（b））
2ab+(a-b)2=a2+b2=c2
而c=113-x，b-a=34，2ab是二池面积，于是
2池面积=（113-x）2-342
四池面积为
2\[（113-x）2-342\]=3x2+678x+15267
2\[12769-226x+x2-1156\]=3x2+678x+15267
得二次方程
x2+1130x-7959=0(11)
由式（11）解得x（取正根）后，113+x为直径，由方程组
b-a=34(113-x)2=a2+b2
解得a与b。
从以上两例中，我们清楚地欣赏了李治所用代数方法（天元法）处理几何问题的绝妙表演，同时他念念不忘勾股定理在天元术中的应用。这种代数应用于几何，几何（勾股）应用于代数的观念是数学中数形结合的光辉先例，这种观念后来为笛卡儿所发扬光大，创造了解析几何。
