笛卡尔曾说：“我从小为了科学而受教育，因为人们使我确信，科学能给生活中一切有价值的东西以明确可靠的认识，所以我把少有的热情用在学习上。但是，当我学完通常把培养学者作为其目的的全部教材时，我的观点完全变了。我这才知道自己处于这种疑惑和错误的混乱之中。从我学习的渴望中，我只得到了一个好处——越发学会揭穿自己无知的老底。世界上如果有什么地方有博学之士的话，这样的人就正应该出现在欧洲。”
他还说过：“我学会了别人所学到的一切，但我不满足于此。凡是能搞到手的，内容被认为是最有趣、最科学的书，我都读了。”
不满足于神学和哲学的笛卡尔转向了数学，他痛心地确认，在这个创造物的花岗岩的基础上，没有筑成比把数学应用于力学再高的任何建筑。长期的思索结出了果实，一个建筑的轮廓开始逐渐地显示出来。那么，笛卡尔到底发明了什么呢？
我们把解析几何称作是一项伟大的发明。恩格斯把解析几何（笛卡尔变量）的发明称为数学领域的一个转折点。他写道，由于这一发明，辩证法和运动进入了数学领域，而这立即引起无穷小概念的发展。英国的大科学家牛顿和德国的大哲学家莱布尼茨通常被认为是无穷小运算的创始人。恩格斯强调指出，笛卡尔的发明应当看做是首创，而牛顿和莱布尼茨只是更加完善，而不是发明了这种运算。
笛卡尔的基本思想在于要用代数来解决几何问题。代数与数、方程有关，几何与点、线、面有关。把二者结合起来，这就意味着要找到一种设法把几何方法和代数方法互相比拟的方法，以便在完成某种形式的、按照确定的法则进行的代数运算时，对这些运算的结果作几何上的解释。
数和图形的概念是数学的基本概念。每一个图形都可以用确定的参变量——长度、面积、体积来描述。可是，如果两个图形的参变量相同，仅靠参变量并不能把两个图形确切地区别开来，需要借助数字同时确定图形在空间中的位置。这可以利用坐标法（在解析几何中，我们使用象限这样一些术语）来做。掌握坐标法，这意味着用这种表示法把代数形式的方法和直观的几何方法合为一体。这种方法的掌握是长期的、严格训练的结果。
每一个几何图形都是点的集合。为了利用数学确定图形在空间的位置，必须先利用数学确定点的位置。确定点位于线上、面上，或者三维空间，应以取适当个数为依据：一个数、点在线上；两个数、点在面上；三个数、点在空间。这样，点和数的集合相互之间建立了一一对应的关系。这种对应是坐标法的基础，被称为坐标系。以我们在何处取点，也就是从我们所建立的对应为依据，我们就能有某一种坐标系。
笛卡尔让代数为几何服务（而且不仅是几何，还有物理、化学、生物、地理等等），对于那以后被认为是财富的许多思想，笛卡尔比别人更有预见性。
大家知道，研究了人类思维的规律，特别是算术运算的规律，我们就得到这些规律的模型，并且去寻求依靠机器完成这些运算的可能性。对于机器来说，完全不同的是，只有一种信息拥有进入机器的控制范围这种形式逻辑的性质，人们才能把这种信息输入机器。机器按照人们“教”它的规则处理任何一种这类的信息，并产生出现成的结果，至于对这个结果如何解释。就全靠输入信息的人了。
在我们所研究的情况中，代数就起这种数学机器的作用。对于代数来说，任何对象无论具有什么样的具体意义，如几何的、物理的或者别的什么意义，完全都一样。既然它们拥有属于代数范围的性质，就能像所有其他具有这种性质的对象一样，用代数来处理。
总的来说，数学是认识客观现实的一种形式。数学的特殊性在于其真理的抽象性质（而且这种抽象的程度较之其他学科高得多），以及对外界现象的独特的、从空间和数量角度进行的解释。
代数是数学的一个抽象性表现得突出的部分。几何的对象始终还是比较具体的，这就是现实世界的空间形式。用这种形式思维是人类思维不可缺少的一种特性，因此，从原则上说，数学没有几何是不行的。但是，作为一个研究具体对象的数学领域，几何不可避免地要受到完全摆脱了这种具体的领域的影响，这个领域就是代数。
现在，不管什么样的知识领域，其中不以某一种形式接触到解析几何的概念，那是难以想象的。
体温表里的曲线就有解析几何。其中时间沿着横坐标轴移动，体温沿着纵坐标轴移动。看这条体温曲线，每一位医生马上就能对病情变化形成一个清楚的概念，至少在病症的某个方面是这样。
领航员在地图上开辟的航线，同样也有解析几何。把地球表面预先绘制到平面上，由此就得到地图。地图上的每一个点的坐标都是地球表面上相应的点的地理坐标（纬度和经度）的函数，可以把函数看成和这些坐标是一样的。每一条航线都是一条曲线。曲线将根据领航员的目的成为某种形式的曲线。如果目的是指挥一艘船沿着地球表面上的一条最短航线航行，就会得到一条曲线。如果让船按照同一个角度（这会使舵手的任务简化，掌舵时，可以把方向始终定在指南针的同一刻度上）横穿所有的经线，就会得到一条所谓的斜航曲线。这一斜航曲线在不同的地图上看法不同，领航员得知道如何在地图所附的坐标中识别斜航曲线的方程式。知道了方程式，他就能计算出曲线所要通过的点的坐标，从而画出船将要通过的那些位置，知道了方程式，他就能知道船按照上述的航线航行时，抵达地球表面指定的地点所需要的时间，等等。
宇宙飞船是沿着万有引力定律所确定的轨道飞行的。如果所说的是单独一个飞船和它所围绕飞行的一颗行星，那么，轨道就是二次曲线的一种。这样的轨道在和地球、太阳或各“恒星”有联系的随便一种坐标系中，都有一个确定的方程式。解析几何提供了找到这个方程式的工具，从而指出每一瞬间飞船的位置的可能性。
由此，可以看出笛卡尔发明的解析几何在现代社会中是多么重要！
