2.知识上的陈旧
概率论的起源虽然可以追溯到纪元前，但却公认是非常年轻的一门学问，主要的发展都在20世纪。由于林德莱等贝叶斯学派60年代以来出色的工作，今天的《概率论》教材若回避这一事实，避而不谈贝叶斯统计，是非常不完整的，说只学了一半的知识一点也不过分。再加上由于计算机的飞速发展而日新月异的现代统计技术，无疑又告诉人们，统计概率思想必须引入到概率论教学中来。
3.对新知识的研究乏力
由于一般工科院校概率论研究的先天不足，使得教材的更新始终在现有的框架内循环重复着，教材一方面脱离实际，另一方面与现代统计发展脱节，再加上概率论本身是应用性极强的学科，而今天的实用领域，由于计算机的发展和普及，问题的复杂性、数据的规模已远非昔比，而现在教材仍停留在“手工作业”的模式里，所涉及的问题基本不切实际。
此外，概率论在形成的漫长历史里，有丰富的问题引人入胜，排除在教材之外实在可惜，因为它们的存在本身对学生就非常具有吸引力，并且后面将提到，它们与学生通过概率论的学习形成正确的概率思维，关系密切。
二、培养概率创新思维的重要性
下面，我们用几个例子说明培养学生正确的概率创新思维的重要性。
1.分点问题
1494年意大利出版了一本计算数学的教科书，帕奇欧里写到：若一个比赛赢六次才算取胜，两个赌徒，一个胜5次，另一个胜2次，由于中断赌博，赌金该如何分配？帕奇欧里认为应按5∶2分给他们。以后，卡尔达诺仔细研究了这个问题后指出：第二个赌徒在以后的比赛中只有5种可能的结果，即：胜第一次，胜第二次，胜第三次，胜第四次或全部输掉，因此应按（1＋2＋3＋4）∶1＝10∶1来分。然而在学生们学过概率论后，很容易计算出正确的分法应是15∶1，即第二个赌徒只能得到全部赌金的1/15，这很出乎一般人的意料。在实际中也许会因为分配不下来而各自取回赌金，这就更不对了。
2.生日问题
若面对一群人（设人数为N）打赌说“其中肯定有两个人生日相同”而在多次这类打赌中立于不败之地，那么N至少应是多少？
直观上对这个问题的回答应是什么呢？显然如N＝366，可以次次都获胜，但这显然失去了打赌的意义，因为谁都能说对。如果我们知道概率是怎么一回事，并且理解所谓立于不败之地就是其获胜概率大于百分之五十，那么直观上就会得出N＝183时有利，而当面对一个小班（只有30人）时，很难打赌说班上准有两人生日相同，而事实上，人群只要保证有23人就够了，每次打赌我肯定选择上面的结果。
3.先验概率与模糊数学中的隶属度
一个人也许根本未投掷一次硬币而猜对正面朝上的概率为50%，而你对明天是否下雨的猜测多数时候也会猜中，这一切可以用先验概率来解释。其特点是：它不是建立在坚实的客观基础上为人们所公认，但有一定的实用基础，可以理解为一种心态或倾向性。无独有偶，模糊数学中的隶属度也是主观规定的，然而，和隶属度数字的随意性（如7.6和8谁更对是模糊的）而确定下来后又一成不变所截然不同的是：先验概率会因为事物的发展（增加了新的信息）而被后验概率所取代（通过贝叶斯公式计算），而正是因为有了后验概率，贝叶斯统计才成其为科学。表面平淡无奇的贝叶斯公式却具有现实和哲理上的解释。
4.验出阳性与真正带菌的可能
当一个人去医院检查是否带有某种病菌而验出阳性时，他真正带菌的可能性有多大？
或者干脆再具体些，这里指出：带菌者验出阳性的概率为99%，你会如何看待这个问题呢？且慢！我们不妨把问题再具体些，假设不带菌者被验出阳性的可能性只有5%，那么你的回答是否同样悲观，即那人八成是染上那种病菌了。
而实际上，这种可能性是与人群中该菌的带菌者比例密切相关的，当我们假定人群中该菌的带菌者比例为0.03，经过简单的计算，验出阳性的人真正带菌的可能性只有37.5%，也就是说他不带菌的可能性大得多！
以上例子，对于头脑中缺乏概率思维的人来说，简直难以置信。可以毫不夸张地说，概率思维是人们正确观察事物而必备的文化修养，而大学生经过概率论的学习，培养起正确的概率思维习惯，无疑对于进一步的学习乃至将来走向我们这个处处充满偶然性和概率的社会将是非常有益的。
（杨虎邹兆南）
转变学生的数学哲学思维
一、人类认识世界的数学思维发展
当人们从事比较简单的社会和生产活动时，当人们去观察静止的“数”与“形”的问题时，人们往往是用静止不变的观点去认识世界。这是人们在漫长的认知过程中最简单、最基本、最常用的数学思维活动方式，它是人类数学思维活动方式的初级阶段，称之为“初级数学思维”。
当人们从事比较复杂的社会和生产活动时，当人们去观察运动或变化中的“数”与“形”的问题时，则改变为是用变化的观点去认识世界，去分析、抽象、概括和处理运动或变化中的“数”与“形”问题，这是人们数学思维活动的高级形式，称之为“高级数学思维”。
初级数学思维是高级数学思维的基础，高级数学思维是初级数学思维的发展与升华。随着社会的进步，随着人们文化知识水平的提高，人们的数学思维方式也在不断地变化。人们的数学思维模式，总是从比较简单的初级数学思维，逐渐向更复杂、更辨证的高级数学思维转化，不同的仅仅是每个人的转化速率不一样而已。
二、初等数学的数学思维
在初等数学中，绝大多数内容是比较具体、固定不变或变动不大的“数”与“形”，因此，人们往往用静止不变的观点，去观察、分析和处理这些“数”与“形”的基本特征和相互关系，即用初级数学思维模式来处理初等数学中的问题，这种数学思维模式，显然是与中、小学生的认知能力与水平相匹配的。从小学到中学的12年的漫长的初等数学学习中，学生已经习惯于用静止不变的观点去观察和处理数学问题，其初级数学思维方式已经根深蒂固。
例如，学生对于求解一元二次方程的代数方法容易理解，印象也比较深刻，但是对于借助于函数图形来直观地描述一元二次不等式的解，反而感到难于理解。又比如，对于锐角三角函数的概念容易接受，也容易记忆，但对于任意角的三角函数概念，则总是从旧有观念出发，停留在静止不变的观点上。例如，sin120°到底是哪条边比哪条边？又如，对于y＝sinx的图形，这是一条十分直观、容易理解的波浪式曲线，但是有的学生始终把锐角三角函数与三角函数的图形对立起来。
三、高等数学中的数学哲学思维
从哲学的观点来看，初等数学与高等数学的本质区别，就在于人们观察、分析、概括、抽象和处理“数”与“形”的思维模式有着本质的不同。
高等数学是研究变量及其变化规律的一门自然科学，这就要求人们必须运用变化的观点，去观察、分析、抽象、概括和处理“数”与“形”的基本特征和相互联系。在高等数学中，到处都可以看到常量与变量、直线与曲线、近似与精确、有限与无限、特殊与一般、局部与整体、微观与宏观、离散与连续等“数”与“形”的描述，它们都是矛盾体的两个方面，既相互对立又互为存在条件，在一定条件下可相互转化，这是自然界中矛盾运动与发展的客观规律在自然科学中的美丽结晶。正是这一对一对的矛盾方面的相依存在与相互转化，才促使了数学的飞速发展。
四、转变学生的初级数学思维模式
当学生从中学步入大学的时候，他们的数学思维还往往停留在初级数学思维阶段，他们会把学习初等数学中的初级数学思维方式，十分自然地带到高等数学的学习中来，这必将严重地影响和妨碍高等数学的学习。因此，对于刚进大学校门的大学生来讲，转变学生的数学思维方式，是十分重要而迫切的。实现从初级数学思维向高级数学思维的根本转变，是一件长期而艰巨的工作，仅仅靠学生自身的努力是远远不够的。教学过程，是教与学的双边活动过程，提高教学质量的责任在教师，实现学生从初级数学思维向高级数学思维转变的关键也在教师。
要让学生转变数学思维模式，教师必须首先转变自己的教学观念。高等数学的教学必须坚持以人为本，一切从实际出发的基本原则。在连续多年扩招情况下，我们的教育对象的基本素质与技能已经有了很大的变化，我们不能把眼光总是停留在过去，不能让现代的学生来适应我们过去的那一套教法，而应当更新教学观念，改革教学内容和教学方法，去主动适应我们的教育对象，这是当前教学改革的必由之路。
对于刚进大学校门的新生来讲，从他们学习《高等数学》的第一天开始，教师就应该旗帜鲜明地指出：为了尽快地适应大学的学习，我们必须改变中学的学习方法和思维方式，应该尽快地实现从初等数学思维方式向高级数学思维方式的转变。
作为教师，必须充分发挥教师的主导作用，应责无旁贷地、有计划、有步骤地引导学生去实现这种思维方式的转变。要运用科学的教学方法，去引导、强化、加速这种转化。在高等数学的教学过程中，在传授知识的同时，根据当前学生基本素质和能力的实际情况，适度地从哲学的角度剖析其对立统一关系与发展规律，将数学思维哲理化、辩证化，这不仅不会影响高等数学的教学，冲淡教学过程中数学思维的培养，恰好相反，它能更深刻地揭示数学概念的实质和精髓，从而让学生更加深刻地理解和掌握它，不断提高数学素质和运用数学思维和数学方法去解决实际问题的能力。
五、培养学生数学哲学思维的实例
1.函数与极限部分
（1）在讲函数定义时应讲明：函数关系y＝f（x）的实质是“对应法则f “，它与自变量的记号无关，这是不变与变的关系；（2）在讲极限概念引例时应讲明：圆的内接正多边形面积An与圆面积A的关系，是近似值向精确值无限转化的关系；（3）在讲数列极限概念时应讲明：数列（xn）无限趋近于它的极限A但又不等于A的关系，是xn无限地量变发生质变的飞跃结果；（4）在讲重要极限e时应讲明：中学里十分强调”1的任何次幂等于1“，而这里是”1的次幂“，这是有限变化与无限变化的本质差异。（5）在讲函数极限概念时应讲明：双边极限和左右极限的关系，是特殊与一般的辩证关系。
2.导数与微分部分
（1）在讲物体的瞬时速度时应讲明：平均速度与瞬时速度的关系，是近似值向精确值无限转化的量变过程的飞跃关系；（2）在讲曲线的切线时应讲明：中学讲的切线是”与曲线仅有一个交点的直线“，这是用静止的观点观察问题的结果，是不严密的，应从变化的观点来重新定义：曲线f（x）在点M处的切线MT，是过点M处的割线MN绕点M旋转的极限位置。（3）在讲导数定义时应讲明：函数f（x）在点M处的导数与自变量增量的记号Δx无关，可用h，t等来表示，甚至可用x来表示。由此可得到导数的不同表达形式，等等。
3.积分学部分
（1）在讲曲边梯形面积时应讲明：从数学角度看”分小取近似“是将精确值转化为近似值，而从哲学角度来看，则是将”不会求面积“问题向”会求面积“问题的矛盾转化；”求和取极限“是近似值向精确值的飞跃；（2）在讲定积分的应用时应讲明：要求总量Q需先求微元素dQ，这是化整为零的转化矛盾，然后无限积累化作积分，这是由微观到宏观的回归。用”微元法“解决实际问题的螺旋式上升求解过程，正是哲学的”否定之否定“应用于高等数学的光辉典范。
综上所述，在教学过程中，特别是在基本概念和基本理论的讲述过程中，我们不仅要从数学的角度讲清楚高等数学的知识和方法，而且还应该从哲学角度进行适度地辩证剖析。只有这样，才能让学生更加深刻地理解这些概念和理论的实质，才能把握这些概念和理论的精髓；只有这样，才能引导并不断促使学生实现数学思维模式的根本转变，为学习高等数学以及其它课程奠定良好的基础；只有这样，才能通过训练和培养学生的数学哲学思维，进而不断提高学生的综合素质，提高学生运用数学思维和数学方法去分析问题和解决问题的能力。
（邹兆南）
