65.莱布尼茨创建微积分
莱布尼茨是17、18世纪之交，德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他的研究成果遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等。“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口，他对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展。由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。
微积分思想最早可以追溯到由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。1665年，牛顿创始了微积分，莱布尼茨在1673年～1676年也发表了微积分思想的论著。
以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。只有莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。
关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。因此，后人公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分。
66.让微积分长大成人的欧拉
微积分的发明是人类精神的最高胜利。1687年，牛顿在《自然哲学数学原理》一书中首次公开发表他的微积分学说。几乎同时，莱布尼茨也发表了微积分论文。但牛顿、莱布尼茨创始的微积分基础不稳，应用范围也有限。
18世纪，一批数学家拓展了微积分，并拓广其应用产生一系列新的分支，这些分支与微积分自身一起形成了被称为“分析”的广大领域。欧拉就生活在这个分析的时代。如果说在此之前数学是代数、几何二雄并峙，欧拉和18世纪其他一批数学家的工作则使得数学形成了代数、几何、分析三足鼎立的局面。如果没有他们的工作，微积分不可能春色满园，也许会打不开局面而荒芜凋零。欧拉在其中的贡献是基础性的，被尊为“分析的化身”。
在分析之前，数学主要是解决常量、匀速运动问题。18世纪工业革命时，以蒸汽机纺织机等机械为主体技术得到广泛运用，但如果没有微积分、没有分析，就不可能对机械运动与变化进行精确计算。到现在为止，微积分和微分方程仍然是描写运动的最有效工具，教科书中陈述的方法，不少都是欧拉的贡献。更重要的是，牛顿、莱布尼茨微积分的对象是曲线，而欧拉明确地指出，数学分析的中心应该是函数，第一次强调了函数的角色，并对函数的概念作了深化。
欧拉一生丰硕的数学和科学成果让人叹为观止，他写过30多本著作和大量富有创造性的科学论文。彼得科学院整理他的著作，整整用了47年时间。
由于欧拉的杰出成就和卓越贡献，后辈数学家极为推崇他。大数学家拉普拉斯普说：“读读欧拉，他是我们一切人的老师。”
67.“数学王子”高斯
在德国哥廷根大学的广场上，矗立着一座用白色大理石砌成的纪念碑。它的底座砌成正十七边形，纪念碑上是一个青铜雕像，他就是高斯。
高斯有“数学王子”的美誉，并被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。
在数学史上，很少有人像高斯那样早熟。当他还在咿呀学语时，他就能将鸡栏中的小鸡数得一清二楚。他在3岁的时候就已经显示出不凡的智慧。
一个星期六的晚上，高斯的父亲在费力地计算工人的工资，他一点儿也没察觉到儿子在旁边观看。当他好不容易计算出来后，松了一口气。不料，高斯拉拉他的衣角，细声说：“算错了，爸爸。总数是……”父亲惊讶不已，决定重算一遍，结果是儿子对了。他原来并不打算让高斯上学，但看到儿子如此聪明，他改变了主意。高斯7岁时，父亲将其送进学校。
高斯上四年级的一天，神情严厉的老师夹着讲义来上算术课。他阴沉着脸对大家说，如果做不好今天的题，就不用回家吃饭了。他让学生们计算1＋2＋3＋……＋100＝？随后，他拿出一本书读起来，教室里一片寂静。
所有的学生都在急忙地计算，数字越加越大，稍不留心错一位，又得重新开始。高斯没有急于计算，而是细心地观察，他发现1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……50＋51＝101。总共有50个101，他立刻得到：1＋2＋3＋…＋99＋100＝50×51＝5050。
当他将答案交给老师时，老师大吃一惊。因为高斯用的这个方法，是许多古代数学家经过长期努力找出来的求等差级数和的方法，老师意识到高斯很有数学天赋。后来，老师经常没一些算术书送给高斯。
这些新书带给高斯极大的兴趣和喜悦，他每天晚上都在阁楼上学习到深夜。没用多长时间，高斯就将这些书看完了，并且不断探索新问题。
高斯一生勤奋努力，刻苦钻研，治学严谨，成果丰硕，对人类的科学事业做出了巨大贡献。他是最后一位卓越的古典数学家，又是一位杰出的现代数学家。他不仅预见了19世纪的数学，而且为19世纪的数学发展奠定了基础。
68.伽罗华开创群论
1832年5月的一个清晨，巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人。过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就将这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨10点，这个年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。
伽罗华最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为“伽罗华理论”。这套理论创立了抽象代数学，将代数学的研究推向了一个新的里程，为数学研究工作提供了新的数学工具——群论。群论对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。
作为这个理论的推论，可以得出五次以上一般代数方程根式不可解，以及用圆规、直尺（无刻度的尺）三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。
今天，由伽罗华开创的群论，不仅对近代数学的各个方向，而且对物理学、化学的许多分支都产生了重大的影响。
69.具有独创精神的黎曼
黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。
黎曼对数学最重要的贡献在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命。他建立了一种全新的、后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。
1854年，黎曼作了一次演讲。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为“黎曼几何”。
1861年，他写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。他在文中对1854年的演讲内容做了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。
黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径。他摆脱高斯等前人将几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。
黎曼引入流形和微分流形的概念，将维空间称为一个流形。维流形中的一个点可以用可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身。这个可变参数称为“流形的坐标”，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。
由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以，在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。
