2020年8月12日。
好了来看例2。
【例2】y=lntan(x2+e^(2x)).求y'
【这个地方也可以写成y'】
解：(dy/dx)
={1/[tan(x2+e^(2x))]}×sec2(x2+e^(2x))×(2x+2e^(2x))
【第一个部分lnx求导就是1/x】
【乘第二个部分求导tanx求导sec2x】
【乘第三个部分求导多项式求导各自求导就行了】
好了写起来很简单，做的时候要注意。跟着做当然觉得简单，自己做就各种错，还是要先细心耐心才行。
来看一下下一个例子。
【例3】y=e^[sin(x+1/x)]，求y'
解：在本子上写了，简单，略。
【例4】y=arctan2[(1-x)/(1+x)]，求y'
y'
=2arctan[(1-x)/(1+x)]×1/{1+[(1-x)/(1+x)]2}×(-2)/(1+x)2
=2arctan[(1-x)/(1+x)]×{(1+x)2/[(1+x)2+(1-x)2]}×(-2)/(1+x)2
=-4arctan[(1-x)/(1+x)]×1/(1+x2)
这里汤老师应该是-2忘了。
【另外】
(x^n)'证明了，而(x^a)'没有证明。其中n是正整数，a是任意实数。
(x^a)'计算可以换作[e^(alnx)]'=[e^(alnx)]×a×(1/x)=ax^(a-1)，这样就舒服了
所以再用复合函数求导法则再来证明（计算）前面的公式就简单了
【索引标识符】㈠常数及基本初等函数求导基本公式，导数公式，求导公式
1.（C)'=0
2.(x^a)'=ax^(a-1)
3.(a^x)'=(a^x)lna
(e^x)'=e^x
4.(loga^x)'=1/[xlna]
(lnx)'=1/x
5.①(sinx)'=cosx
②(cosx)'=-sinx
③(tanx)'=sec2x
④(cotx)'=-csc2x
⑤(secx)'=secx·tanx
⑥(cscx)'=-cscx·cotx.
6.①(arcsinx)'=1/[1-x2]^?（-1＜x＜1）
②(arccosx)'=-1/[1-x2]^?（-1＜x＜1）
③(arctanx)'=1/[1+x2]（-∞＜x＜+∞）
④(arccotx)'=-1/[1+x2]（-∞＜x＜+∞）
㈡四则运算求导法则
1.u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)
2.[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
3.设v(x)≠0，
则[u(x)/v(x)]'=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/v2(x)
㈢复合运算求导法则——链式法则
y=f(u)可导，u=φ(x)可导且φ'(x)≠0，
则y=f[φ(x)]可导且
(dy/dx)=(dy/du)·(du/dx)=f'(u)·φ'(x)=f'[φ(x)]·φ'(x).
好，2.2求导法则到这里结束。
接下来是2.3高阶导数
内容较少也很简单。
……
这里我先顺便把中学三角公式写一下。
【索引标识符】三角函数相关公式
1.三角函数
sinx、cosx、tanx、cotx、secx、cscx
2.同角三角函数基本关系式
①导数关系：
sinα·cscα=1，cosα·secα=1，tanα·cotα=1.
②商数关系：
tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα.
③平方关系：
sin2α+cos2α=1，1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α.
3.诱导公式
略
4.和角公式、差角公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ).
5.二倍角公式
sin2α=2sinαcosα，
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
tan2α=2tanα/(1-tan2α)
6.万能公式
sin2α=2tanα/1+tan2α，
cos2α=(1-tan2α)/(1+tan2α)，
tan2α=2tanα/(1-tan2α)
也就是说，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。不过高数好像用的并不多。
7.和差化积公式
sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)，
sinα-sinβ=2cos((α+β)/2)sin((α-β)/2)，
cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)，
cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)，
8.积化和差公式
sinαcosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]，
cosαsinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]，
cosαcosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]，
sinαsinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)].
9.辅助角公式
asinx+bcosx=(a2+b2)^?sin(x+φ)
角φ的终边所在的象限与点（a，b）所在的象限相同，并且有
sinφ=b/(a2+b2)^?，cosφ=a/(a2+b2)^?，
tanφ=b/a.
感觉梦回高三啊。或者梦回初三？
不过用的都不多感觉，但是一用到的话就混混沌沌的。
继续听课，高阶导数定义。主要看了下写法，一个是(d/dx)F就表示F对x求一次导。还有就是一撇两撇就是一阶导二阶导，'，''。
(d2y/dx2)、y''、f''(x)。二阶导写法。
(d3y/dx3)、y'''、f'''(x)。三阶。
如果四阶五阶呢？
f(?)(x)四阶，右上角括号里面加数字表示高阶导数。
二阶及以上的导数称高阶导数。
【例1】略
【例2】y=e^(3x)，求y的10阶导数
3^(10)·e^(3x)
方法一：归纳法
【例1】
y=sinx，求y的n阶导数
解：y'=cosx=sin(x+π/2)
y''=-sinx=sin(x+2π/2)
y'''=-cosx=sin(x+3π/2)
y的四阶导数=sinx=sin(x+4π/2)
∴y的n阶导数=sin(x+nπ/2)
即sinx的n阶导数=sin(x+nπ/2)
同理cosx的n阶导数=cos(x+nπ/2)
【例2】
y=(e^x)sinx，求y的n阶导数
解：y'=(e^x)sinx+(e^x)cosx
=(2^?)(e^x)sin(x+π/4).
∴由归纳法，
y的n阶导数=[(2^?)^n](e^x)sin(x+nπ/4).
【例3】y=1/(2x+1)，求y的n阶导数
解：y=(2x+1)?1
y′=(-1)(2x+1)?2×2
y″=(-1)(-2)(2x+1)?3·22
y的n阶导数={[(-1)^n]n!×2^n}/(2x+1)^(n+1)
【索引标识符】【记】【n阶导数相关】
①sinx的n阶导数=sin(x+nπ/2)
②cosx的n阶导数=cos(x+nπ/2)
③1/(ax+b)的n阶导数={[(-1)^n]n!×a^n}/(ax+b)^(n+1)
【例4】f(x)=1/(x2-1)，求f(x)的n阶导数.
解：f(x)=1/2[1/(x-1)-1/(x+1)]
f(x)的n阶导数
=?[{[(-1)^n]n!}/(x-1)^(n+1)-{[(-1)^n]n!}/(x+1)^(n+1)]
【例5】y=ln(3x+2).求y的n阶导数，n≥1
解：
……
晚餐，剩菜。
……
y′=[1/(3x+2)]×3
求y的n阶导数，实际上就是求y′的n-1阶导数，又可以用
1/(ax+b)的n阶导数={[(-1)^n]n!×a^n}/(ax+b)^(n+1)来解决了。
y的n阶导数={[(-1)^n-1](n-1)!×3^n)}/(3x+2)^n
方法二：公式法
(uv)'=u'v+uv'
(uv)″=u''v+2u'v'+uv''
…
【记】莱布利兹Leibniz公式
(uv)的n阶导数=打出来的不好看，就不写了。
【例1】y=x2e^x，求y的5阶导数
解：y的5阶导数
=C05(e^x)五阶·x2+C15(e^x)四阶·2x+C25(e^x)三阶·2+C35(e^x)″·0+0+0
【C15，五个选1个，=5】
【组合数公式C(n，m)=n!/((n-m)!*m!)（m≤n）】
【5*4*3*2*1/3*2*1*2*1=10】
=x2e^x+10xe^x+20e^x
【例2】y=x2sinx，求y的6阶导数
解：y的6阶导数
=C(6，0)sinx六阶导数·x2+C(6，1)sinx五阶导数·2x+C(6，2)sinx四阶导数·2
=x2sin(x+6π/2)+12sin(x+5π/2)+30sin(x+4π/2)
=-x2sinx+12xcosx+30sinx
2.3高阶导数就到这里。
看2.4隐函数及由参数方程确定的函数求导
这第四节很重要。
这有两个话题，一个是隐函数求导，一个是由参数方程确定的函数的求导。
这节很重要就留到明天看吧。我想想今天学了什么啊，先是解决了四个反三角函数，反函数求导法则及证明昨天看了，就是倒数关系嘛。然后就是复合函数求导法则，定理，证明，例子，于是就总结了初等函数求导。然后我回顾三角函数相关的公式，还中学不努力的账，但是反三角、余切、正割、余割我中学也没咋学啊。中学老师的锅。然后就是高阶导数这一节，定义，然后是方法及其例子。
……
群里面马涛叫着什么数学题20个错五个，这他喵是抱怨还是炫耀？艹！于是马飞当即反击。马负乘仍然不发言。我则窥屏。
……
高中女同学给我大四了想考研的说说点赞评论加油，还蛮想她的。也不是特别想吧，也就一般想。我就是这样，某种联系出现才会激发情感，普通很少激发。除非是主动忆往昔峥嵘岁月稠时。
……
打游戏。
