2020年8月15日。
午餐是日常十一点左右。
内容是豇豆五花肉、西红柿鸡蛋汤、豆腐、青椒豆干。
……
高数呢当时学的时候学的一般，从零基础开始可以，线代的话说是要至少给一周时间，我当时学的还行就可以从基础班开始，概率论有点尴尬当时就是选的网课，分高是虚的，根本没咋学。
考研英语也着实有点头疼，后面再头疼吧。专业课有两门，当然先搞初试的数据结构，政治有点难顶，和英语一起学算了，暑假剩下半个月希望把数学中的高数基本夯实然后弄一下线代和概率论，然后开始做题。
突然想整一下计划。计划以周为单位较为合适。
【细纲计划】
【细纲说明】【在缓冲休息日前后，应适当加大任务量，缓冲休息日应进行周总结】
8月15日（今天）【数学】高数0基础
①3.4 函数单调性与曲线的凹凸性（一）√
②3.4 函数单调性与曲线的凹凸性（二）√
③3.5 极值与最值√
④3.6 函数图像描绘√
⑤3.7 弧微分与曲率√
8月16日【数学】缓冲休息日，
8月17日【数学】高数0基础
①4.1 不定积分的概念与性质
②4.2 积分方法一换元积分法（一）
③4.2 积分方法一换元积分法（二）
④4.3 分部积分法；
8月18 日【数学】高数0基础
①4.4 有理函数不定积分
②5.1 定积分的概念与性质（一）
③5.1 定积分的概念与性质（二）
④5.2 积分基本公式
8.19 【数学】高数0基础5.3、5.4、6.1、6.2；
8.20 【数学】高数0基础6.3、7.1、7.2、7.3；
8.20 【数学】高数0基础7.4、7.5、7.6、7.7。【事件：买车票】。
8.21 【数学】高数0基础7.8【上册结束】、8.1、8.2、8.3（一）、8.3（二）。
8.22 【数学】缓冲休息日
8.23 【数学】高数0基础8.4、8.5……
……
今天有五个视频要看，要抓紧时间了。刚刚在群里看马涛马飞讨论，我不会+1-1的操作略微尴尬。但是直接麦克劳林公式也行。但是必须细心才行。
好了看上一篇的末尾的
【例5】e＜a＜b，证：a^b＞b^a.
证明：
【趁笔记本系统更新看不到答案我先思考一下，这里肯定是和函数单调性相关的，所以会有构造函数，会有一阶导数，然后呢只有一个不等式，因为＞e，所以很可能lnx也相关】
【我觉得应该是构造一个跟e^blna-e^alnb相关的，那可以直接就是e^x，然后只要证明blna＞alnb不就行了吗？因为e^x在x＞0上递增啊。好了来看汤老师怎么做的】
证明：
要证a^b＞b^a，即证blna-alnb＞0，
令f(x)=xlna-alnx，f(a)=0，
f'(x)=lna-a/x＞0，(a＜x＜b)
则f(x)在[a，b]单调递增.
∴x＞a，f(x)＞f(a)=0，
∵b＞a，∴f(b)＞f(a)=0.
∴blna-alnb＞0，
∴a^b＞b^a.
【前面是判断单调性，后面例题是利用单调性做事】
【例6】证：当x＞1时，2(x)^?＞3-1/x.
证明：令f(x)=2(x)^?-3+1/x，f(1)=0，
f'(x)=[x^(-?)]-1/x2＞0，（x＞1）
则f(x)在[1，+∞)上单调递增，
∴当x＞1时，f(x)＞f(1)=0，
即2(x)^?＞3-1/x.
【单调性的重要应用，证明不等式】
二、函数的凹凸性
㈠
f((x1+x2)/2)＜[f(x1)+f(x2)]/2【凹】
f((x1+x2)/2)＞[f(x1)+f(x2)]/2【凸】
㈡判别法
引理【……二阶】
【证明】【……泰勒……】
……
睡一会儿，有点困。13：37。
……
14：53。
【注解】若f''(x)＞0，当x≠x0时，f(x)＞f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
若f''(x)＜0，当x≠x0时，f(x)＜f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
【定理】Th2，f(x)∈C[a，b]，(a，b)二阶可导，
〈1〉若f''(x)＞0，（a＜x＜b），则y=f(x)在[a，b]上是凹的；
〈2〉若f''(x)＜0，（a＜x＜b），则y=f(x)在[a，b]上是凸的；
证明：……
不想写。利用引理。证出f中点函数值与两点函数值之和的一半的关系。
……
【注解】凹凸性判断步骤
1°，X∈D【定义域】
2°，f''(x)=0或不存在时x何值
3°，每个区间，f''(x)与0的大小比较
【例1】y=lnx，判断凹凸性
解：x∈(0，+∞)
y'=1/x，，y''=-1/x2，
∵y''＜0，∴y=lnx在(0，+∞)内为凸函数
【例2】x3凹凸性
……拐点
【例3】e^(-x2)
……两个拐点（-1/2^?，e^-?），（1/2^?，e^-?）
3.4节解决，休息看一下一会儿看3.5重要的一节，极值与最值。
……
3.5 极值与最值
一、函数的极大值与极小值
㈠define
……【】
结论：①x=a为f(x)极值点，推出，f'(a)=0或不存在，反之不对
②x=a为f(x)极值点且f(x)可导，推出，f'(a)=0，反之不对
【反例1、2】感觉这个看过
㈡求极值的步骤
1°，x∈D
2°，导数等于0或不存在确定很多个x点
3°，判别法
方法一：（第一充分条件）
Th1，①if {x＜x0时，f'(x)＜0，x＞x0时，f'(x)＞0}，x=x0极小点
②if {x＜x0时，f'(x)＞0，x＞x0时，f'(x)＜0}，x=x0极大点
【例1】f(x)=x3-6x+2.
【……】
方法二（第二充分条件）
Th2，设f'(x)=0，f''(x){＞0极小点，＜0极大点}
证明：【……极限保号性……】
【例2】f'(1)=0，lim(x→1)f'(x)/sinπx=2，求x=1是极大点还是极小点？
解：法一：
∵lim(x→1)f'(x)/sinπx=2＞0，
∴?δ＞0，当0＜|x-1|＜δ时，f'(x)/sinπx＞0，
①f'(x)＞0，x∈（1-δ，1）
②f(x)＜0，x∈（1，1+δ）
∴x=1是极大点.
法二：f'(1)=0，
2=lim(x→1)f'(x)/sinπx
=lim(x→1)f'(x)/sin[π+π(x-1)]
=-lim(x→1)f'(x)/sinπ(x-1)
=-lim(x→1)f'(x)/π(x-1)
=-1/πlim(x→1)[f'(x)-f'(1)]/(x-1)
=-1/πf''(1)
推出f''(1)=-2π＜0，
∵f'(1)=0，f''(1)＜0，
∴x=1为极大点.
【例3】图像
【……】
二、最大值与最小值
可能的极值点加上端点，最小的就是最小值m，最大的就是最大值M.
【例1】略，汤老师计算错误。
【例2】设p＞1，证：当x∈[0，1]时，
1/2^(p-1)≤x^p+(1-x)^p≤1.
证明：令f(x)=x^p+(1-x)^p∈C[0，1]
令f'(x)=px^(p-1)-p(1-x)^(p-1)=0得x=1/2
∵f(0)=1=f(1)＞f(1/2)=1/2^(p-1)
∴m=1/2^(p-1)，M=1，
∴原式得证.
【实际问题】
【例1】运费
【思考】
第五节结束
看第六节。
3.6 函数图像描绘
内容不多，也不太重要。但听的话就要听清楚。
1°，x∈D
2°，增减性，f'(x)等于0或不存在的点，增减分界点，驻点
3°，凹凸性，f''(x)等于0或不存在的点，凹凸分界点，拐点
4°，渐近线
5°，描图
……
水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线。
lim(x→∞)f(x)=A，lim(x→a)f(x)=∞，lim(x→∞)[f(x)-ax]=b.
【例1234】
二、作图
1°，x∈D
2°，增减性，f'(x)等于0或不存在的点，增减分界点，驻点
3°，凹凸性，f''(x)等于0或不存在的点，凹凸分界点，拐点
4°，渐近线
5°，画表
x （）？（）？（）？（）
f'(x)+ x1 - x2
f''(x)+ x1 + x2
f(x)凹增 x1 凹减
6°，找关键点描图
……
3.6节重点是渐近线。
3.7 弧微分与曲率
一、弧微分
先吃晚饭，一会儿再来看3.7节。
