威廉：你们都学过几何是吧？
戴维：是的。
索菲娅：我最讨厌的就是证明题。有一些证明题，明明看过去就是正确的嘛，为什么还要证明？
威廉：那么勾股定理看起来像是正确的吗？
索菲娅：直角三角形的一条直角边的平方，再加上另一条直角边的平方等于斜边的平方。这个真的不直观，难道这个不是总结出来的规律吗？
威廉：不是的，这个就是通过你认为很直观，根本不用证明的结论证明出来的。最直观并且不能再简化的命题叫作公理。几何的其他任何结论都是由总共不到十条的公理推导出来的，包括勾股定理。这种形式影响了现代的科学，任何结论都得由看起来直观并且不能再简化的公理证明出来。中国古代的数学更注重于算术，没有证明的传统。
戴维：是不是其他的学科也可以这样子，由尽可能少的公理推导出尽可能多的现象出来呢？
威廉：英雄所见略同，古人也是这么想的。亚里士多德提出重的物体下降速度比轻的物体要快，伽利略做一个思想实验，如果重的物体与轻的物体绑在一起会怎么样。重的物体加轻的物体，应该变得更加重了，那么总体下降速度会变得更快。但是轻的物体下降速度更慢，会拖慢重的物体的速度，那么总体下降的速度会变得更慢，这样就会产生悖论。
戴维：所以如果要求不产生这种悖论的话，必须要求重的物体和轻的物体下降速度一样快才行。在真空状态下，球和羽毛的下降速度确实是一样快的，两种下降速度不一样，仅仅是因为空气阻力。那凭着这种思路根本就不用去比萨斜塔做两个铁球同时下降的实验了。
威廉：伽利略确实没有去做这个实验，那个故事是被人编造出来的。如果伽利略真的拿两个不同重量的物体做实验，或许由于空气阻力的原因，实验结果不会理想。牛顿在继承伽利略的基础上走得更远，用三大定律再加万有引力定律，把当时的所有物理现象都解释了，包括天上的星体运动。牛顿把自己的书起名叫作自然哲学的数学原理，就是受到当时数学的影响，用尽可能少的公理推导出尽可能多的结论出来。当时的许多科学家相信，世界是由上帝通过数学设计出来的，牛顿只是相信这个想法，通过数学来一窥上帝的设计。
索菲娅：哦，原来牛顿研究物理就是为上帝服务的，怪不得他花在神学上的时间多于他花在物理的时间。牛顿的观察能力太细致了，从苹果落地就能想出万有引力。根据万有引力，月球应该撞向地球才对，怎么会在空中飘着呢？
威廉：从苹果落地想到万有引力，那是杜撰出来的故事。万有引力的提出，首先要有牛顿三大定律才能思考出来，里面涉及许多数学推导。月球有个平行于地球的速度，根据万有引力，再加上严格的数学演算，就得出了月球围绕着地球转而不是撞向地球，甚至还能精确地算出轨迹。
戴维：是不是我们现在物理学有那么多的数学内容，就是从牛顿开始的呢？
威廉：可以这么理解，毕竟牛顿是与阿基米德和高斯并称的世界三大数学家。根据牛顿的物理再加上数学，就可以推出很多现象出来，精确到哪个行星在哪一秒钟出现在哪一个地方，精确到物体下降时哪一秒钟会到达哪一个地方。只要预测足够精确，你就会更相信理论的正确。
索菲娅：就像算命，如果他预测的都能够验证，我们就很可能相信算命先生的话。
威廉：算命先生往往会通过观察和询问，把你的情况了解后对你的现状进行猜测，通常都能猜得很准确，此时你可能会感觉很神奇而相信算命先生的话。而且算命先生所说的话可能会含糊其词，给日后的解释留下余地。当预测的数字是7，而出现的数字是9时，他可以说他的话也可以理解成9，你一听解释，也好像是。
索菲娅：但算命先生有些时候预测并不会含糊其词啊，比如说去年算命先生说，今年我奶奶会过世，结果就过世了。
威廉：一年是一个很大的范围，只要你奶奶已经身体很虚弱，能猜中也是挺大概率的。而牛顿的预测是能够精确到秒之内。算命先生是怎么说的呢？
索菲娅：算命先生说我奶奶近些年会有大难。
威廉：那么什么是大难的定义呢？什么是近些年的定义呢？这些是可以含糊的。波普尔提出了科学的定义，科学并不在于它永远是正确的，相反，我们经常会遇到科学被推翻的情形。科学最基本的性质是可以被检验真假，但暂时没有被检验为假，也就是能够被证伪的是科学。可以这么理解，能够接受考验，并且经过多次考验后尚未被证实为假的理论是科学。
索菲娅：能举个具体的例子吗？
威廉：就像那个算命先生，只要他预测可以被证明是错误的情况，这种情况碰巧的可能性非常低，并且经过多次验证也没有发现错误，就可以把他的理论看成是科学的。比如他说你奶奶某年某月某日某时会死，精确到这么具体的时间，这碰巧的可能性就很低，并且是可以验证的。如果他提出过的所有预言的结果都被证实为对，说明他进行预言的理论是科学的。一旦被证明是错的，就不算科学。就不像一些无赖，说的话怎么都不能够辩驳，怎么辩驳他都有理。所以科学最重要的作用并不是在于解释，而在于预测，有预测才有可能被辩驳。相对论的出现正是源自牛顿力学开始有一些地方的验证出现错误。
索菲娅：一个验证出现错误就足以推翻一个理论吗？
威廉：是的，越是这样的理论显得越可靠。理论是随着被检验次数的增加来增加可信度，以及随着预测精度的增加来增加可信度。仅仅做出解释而没有做出预测的理论只是事后诸葛亮，对解决即将面临的问题没有太多帮助，而且一件事情可以有上万种解释，单纯做出解释太容易了，只有能解决问题的解释才是有用的解释。并且如果不提供预测，而是进行事后的验证，就可以只挑对自己的理论有利的现象，忽略掉对自己的理论不利的现象，所以再多的证实都不足以让一个理论成为科学。
戴维：这么说的话，技术也不能算是科学，技术只是一种应用，科学是一种能进行预测的解释。中国古代的四大发明还有各种工程都只能叫作技术，不能称作科学。或许我可以理解成科学是让自己的理论符合事实，而不是让事实符合理论，所以通过事实来检验理论，而不是让理论来检验事实，才是科学的态度，所以能否重复被检验也是科学的要求。
威廉：重复被检验也算是一种预测，就是预测在相同的条件下，产生的结果与之前的相同。在这些科学中，物理的要求是最严格的，因而才能把物理作为其他科学结实的后盾，尽管化学与生物时而不精确，偶尔预测的结果还会出现差错，我们也不会轻易否定他们。
戴维：不是一个差错就足以否定整个理论的吗？
威廉：对于物理学来说，是这个样子的。尤其是我们能够观测得到的物理现象。但是一旦走到更复杂的世界，一点点的因素就会影响到最后的结果，就像洛伦兹提出的蝴蝶效应。洛伦兹做了数学公式预测天气，一次偷懒把相差0.0001的数值放进去，结果做出来的数学图形刚开始还有点相似度，到后面就完全不一样。就是一点点的变化因素，最后导致结果完全不一样。
戴维：我可以这么联想，尽管化学可以用物理来解释，但是从物理到化学，复杂度增加了不少，无法直接用物理解决化学问题，因而化学必须独立开来研究。尽管生物可以用化学来解释，但是从化学到生物，复杂度增加了不少，无法直接用化学解决生物问题，因而生物必须独立开来研究。从生物到生命，从生命到社群，从社群到国家都是这个样子。但至少我们有一个坚不可摧的物理做后盾，使在物理之上的所有科学尽管偶尔出错，但不至于崩塌的境地。
威廉：是的，而且随着现实世界在数学上的复杂性增加，概率在这里会派上更大的用场。比如医疗药物的测试，统计的就是治愈率有多高。为了避免测试者的因素，测试者是不知道自己在做什么。为了避免被试者的因素，被试者也不知道自己在做什么。这样就避免测试者和被试者的偏见。尽管科学家尝试排除现实中的种种干扰，现实的误差还是很多。
戴维：我感觉经济学家用经济的数学模型去描述世界，好像也太狂妄了一点，既然那么多因素影响现实的世界，他们怎么就不具体问题具体分析呢？好像停留在数学的公式就能够解释全世界一样。有时在现实社会经历一番或观察一遍就发现，很多数学模型根本就对不上现实世界。
威廉：其实主要是这些经济学家对权威过于服从而已。许多学生对经济学的理论没有表示过怀疑，既然没有表示怀疑，自然会在原有的数学模型基础上衍生出更复杂的数学模型。
