小波分析是由法国数学家Morlet于1980年在进行地震数据分析工作时提出的，而小波研究的热潮始于1986年。随后，S.Mallat于1989年提出了多分辨率分析的概念，统一了在此之前Stromberg、Meyer、Lemarie、Battle等提出的各种具体的小波构造方法，给出了构造正交小波基的一般方法和FFT相对应的快速算法——Mallat算法。
7.1一维小波分析
小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为数学显微镜。正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。
小波分析是调和分析这一数学领域半个世纪以来的工作结晶，已经和必将广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断与监控、分形以及数字电视等科技领域。原则上讲，传统上使用傅立叶分析的地方，都可以用小波分析取代。小波分析优于傅立叶变换的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。
7.1.1一维连续小波变换
连续小波变换具有以下重要性质：
1.线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。
2.平移不变性；
3.伸缩共变性；
4.自相似性：对应于不同尺度参数和不同平移参数的连续小波变换之间是自相似的。
5.冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。
小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两方面：
1.由连续小波变换恢复信号的重构方式不是唯一的。也就是说，信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。
2.小波变换的核函数即小波函数存在许多可能的选择（例如，它们可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的）。
小波变换在不同的之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此，小波变换的冗余度应尽可能小，它是小波分析中的主要问题之一。
7.1.2一维离散小波变换
在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波和连续小波变换的离散化。需要指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续的平移参数的，而不是针对时间变量的。这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。
然而，怎样选择和才能够保证重构信号的精度呢？显然，网格点应尽可能密（即和尽可能小），因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数和离散小波系数就越少，信号重构的精度也会越低。
上面是对尺度参数和平移参数进行离散化的要求。为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，我们很自然地需要改变和的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。换言之，在实际中采用的是动态的采样网格。最常用的是二进制的动态采样网格，由此得到的小波称为二进小波（Dyadic Wavelet）。
二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定有一放大倍数，它对应为观测到信号的部分内容。如果想进一步观看信号更小的细节，就需要增加放大倍数即减小值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减小放大倍数，即加大值。
7.2多分辨率分析
Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成的规范正交基，才使小波得到真正的发展。1988年S.Mallat在构造正交小波基时提出了多分辨分析（Multi-Resolution Analysis）的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，将此之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变换的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的地位。
多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高频部分则不予考虑。分解具有的关系：S=A3+D3+D2+D1。另外强调一点，这里只是以一个层的分解进行说明，如果要进行进一步的分解，则可以把低频部分A3分解成低频部分A4和高频部分D4，以下分解依此类推。
在理解多分辨分析时，我们必须牢牢把握一点，即分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近空间的正交小波基，这些频率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。从上面的多分辨分析树型结构可以看出，多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解，使频率的分辨率变得越来越低。下面我们分析多分辨分析是如何构造正交小波基的。
根据上面的理论，S.Mallat提出了Mallat算法。本书在进行处理时也是采用这种方法。
这种方法将信号首先分解为一个概貌信号和一个细节信号，再进一步将这个概貌信号又分解为更小分辨率的概貌信号和细节信号，直到满足我们要求为止。不同分解层次的概貌信号对应的分辨率是不同的，随着分解的进行，分辨率逐渐降低，相当于我们看一个物体时从不同的距离去看。高分辨率的信号相当于从近距离去看一个物体，能比较清楚地看到它的细节；而低分辨的信号相当于从远距离去看物体，虽然不能清楚地看到物体的细节，但却能看到物体在大尺度范围内的变化趋势，这便于我们从宏观对物体进行把握。这就是小波的多分辨率的特性。
7.3常用小波函数介绍
在本书中我们用到了Harr小波以及Daubechies（dbN）小波系，它们是应用得最多的小波函数，下面分别对它们进行介绍。
1.Haar小波
Haar小波函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数。
2.Daubechies（dbN）小波系
Daubechies函数是由世界着名的小波分析学者Inrid Daubechies构造的小波函数，除了db1（即haar小波）外，其他小波没有明确的表达式，但转换函数h的平方模是很明确的。
1.小波函数和尺度函数的有效支撑长度为2N-1，小波函数的消失矩阶数为N。
2.dbN大多数不具有对称性；对于有些小波函数，不对称是非常明显的。
3.正则性随着序号N的增加而增加。
4.函数具有正交性。
7.4小波滤波器对
从滤波器对的观点来看离散小波的分解实际上是一个双通道的滤波器对，即一个高通滤波器H(n)和一个低通滤波器L(n)，在重建的时候又有一对与之相对应的重建滤波器H0(n)和L0(n)。我们只要知道了不同小波的各个滤波器的滤波器参数就能对信号进行相应的小波分解和重建。因此小波变换在计算机实现时就是用滤波器参数对信号进行卷积滤波。本书的相关算法在进行图像的小波分析时也是采用的这种办法。
已经离散化的信号X(n)分别用高通分解滤波器H(n)和低通分解滤波器L(n)对其进行滤波，从高通滤波器出来的结果是原信号的细节分量，从低通滤波器出来的信号是原信号的概貌信号，由于两个通道中出来的信号带宽减少了一半，由采样定理采样点数也可以减少一半而不会减少信号所含的信息，图中的下箭头代表下采样（Subsample）即只保留结果中的奇数位置上的采样点或偶数位置上的采样点。在对这两个通道的信号进行重建（复原）时，首先对这两个通道出来的信号进行上采样（Upsample）即对已经下采样的信号采样隔一个添加一个0，图中的下箭头就代表这一过程。上采样后的信号又分别通过一对相应的重建滤波器对即可将原信号重建回来，即小波变换是可逆的。我们在进行多分辨率分析时，只需对通过低通滤波器出来的概貌信号采用同样的滤波器对，进一步分解成更大尺度的概貌信号和细节信号，这一过程不断地进行下去直到满足我们的要求为止。
7.5二维图像的小波分析
对于二维图像信号，定义为在中的正交补空间。
定义滤波算子，如果把二维信号视为二维计算机图像，则算子相当于二维低通滤波器。因此，是的低频成分（概貌图像）。算子相当于先对列作低通滤波，然后对行作高通滤波，在有水平边缘的地方，的幅度应比较大，相当于图像的水平边缘，同样相当于图像的竖直边缘，相当于对角边缘。
概貌图是对图像的行像素和列像素均采用低通滤波器滤波的结果，它反映了原图像的大尺度下的概貌信息；水平边缘图是对图像的行像素采用低通滤波器进行滤波而对图像的列像素采用高通滤波器进行滤波，得到的图像反映了原图的水平边缘情况；垂直边缘图是对图像的行像素采用高通滤波器进行滤波，而对列像素采用低通滤波器进行滤波，它反映了原图像的在垂直方向上的边缘情况；对角边缘图是对图像的行像素和列像素均采用高通滤波器进行滤波，它反映了原图像在对角方向上的边缘情况。后三个图一般都称为细节子图。
