一是时频局部化特性：图像经小波变换后，空域上表示图像边缘和纹理的部分对应为频域中细节子带的大系数。由于人眼对边缘和纹理部分的改变不敏感，所以可将水印嵌入到小波分解后细节子带的大系数中以提高水印的鲁棒性。文献即是采用这个思想，并分别利用Hash函数和Turbo编码技术增强水印的安全性和鲁棒性。
二是多尺度分析方式：小波变换的多尺度特性应用在图像多级分解上，表现为细节子带同方向上图像具有相似性和固定的对应关系，这对水印的嵌入及连续解码都很重要。从不重要的高分解层节点，可以找到同方向低分解层的不重要节点，从而产生一棵零树，即零树小波（Embedded Zerotree Wavelet）的原理。文献即采用零树小波原理，通过与选定的阈值进行比较的方式确定父子节点，从而筛选出水印嵌入点以完成水印的嵌入。另外一种常用的树结构为重要树（Significant Tree），它考虑的是如果最粗糙尺度上的小波系数为重要系数，并且较精细的尺度同方向上相同空间位置的小波系数也为重要系数，则这是一棵“重要树”。“重要树”结构只考虑最低一级尺度和次最低两级尺度。文献中第二种算法基于“重要树”结构提出了水印算法，文献采用了特殊的小波树量化方式。此外，多尺度分析能力同人类的视觉系统极其相似，这便于人们结合人类视觉系统特性，提高水印算法的鲁棒性。例如，利用视觉掩蔽特性推出的JND模型是最为广泛使用的自适应嵌入方法。文献给出了实小波变换的JND模型，Poo等给出了复小波变换的JND模型。文献直接利用视觉掩蔽特性作为加权系数，使得自适应层次上是系数级的。这是一类颇受欢迎的自适应嵌入方法，它还应用到了其他变换域，诸如ridgelet域、Contourlet域。
三是线性复杂度低：小波变换的线性复杂度为，相比DCT的复杂度为（为变换信号的长度）要小得多。
特别的，当前最新的JEPG 2000压缩标准和视频的MPEG 7压缩标准都是采用了小波变换。采用小波变换的压缩算法不需要采用DCT域算法常用的独立分块技术，因此避免了“块效应”，使得基于DWT的水印算法可以更好地抵抗有损压缩操作。
由于以上原因，基于DWT的水印算法已经成为当前的研究重点和最重要的研究方向，由此衍生出来的水印算法还包括基于复小波变换（Complex Wavelet Transform）、整数小波变换（Integer Wavelet Transform）、小波包（Wavelet Packet Transform）、多小波变换（Multiwavelet Transfrom）、基于LU分解以及当前作者构造的一些新颖的小波基的水印算法。这些算法的基本思想与基于DWT的算法类似，请参看相关文献。
除了上面所谈到的三种常用的变换域以外，为了抵抗几何变换攻击引入了Fourier.Mellin变换水印，为了将空域和变换域优点结合引入了分数Fourier变换水印，为了利用实时性强和速度快的优点引入了Hadamard变换水印，为了弥补DCT和DFT方法只有一个变换平面的缺点引入了Fresnel变换水印，此变换可根据不同的距离参数得到不同的变换平面，为了抵抗矢量量化攻击引入了Vector变换水印。另外，利用一些其他技术的水印算法也取得了比较好的效果。诸如，为了抵抗旋转攻击和解决Fourier.Mellin变换引起的图像质量和插值精度的问题引入了基于Zernike 矩（Zernike Moment）水印，以及一些新技术支持向量基（SVM）水印、神经网络水印和独立成分分析水印。
1.1.3压缩域算法
压缩域算法指的是直接将水印嵌入压缩位流或索引中的方法。这些方法主要包括JPEG压缩域、MPEG压缩域和VQ压缩域三大类。基于JPEG和MPEG标准的压缩域水印系统不仅节省了完全解码和重新编码过程，而且在数字电视广播和VOD（video on demand）中有很大的实用价值。具体技术详见参考文献。
1.2从小波域的水印算法到多尺度几何域的水印算法
1.1.2节概述了多种变换域算法，它们都有各自的特点，但在众多变换域中，DWT域的水印算法是最为普遍的，这当然和小波特有的时频特性和多尺度分析能力密不可分。从数学的角度而言，小波变换比起Fourier变换更能“稀疏”表示一段分段光滑或者有界变差函数，即小波变换的非线性逼近能力更强。图像的“稀疏”表示一直在数据的存储和传输中发挥着重要的作用。而由于小波基能够用较少的系数达到图像较精确的非线性逼近，因此就成为图像“稀疏”表示的重要方法之一。特别的，变换域水印算法在本质上也是利用图像的“稀疏”表示方式，即利用变换后的大部分系数能量集中在低频部分，小部分能量如图像的边缘和纹理部分集中在高频部分的大系数上，从而针对不同的频带信息采用不同的嵌入方法。
但是，随着小波分析理论研究的不断深入，研究者们越来越意识到对于二维图像，由于边缘、轮廓和纹理等具有高维奇异性的几何特征，包含了大部分信息，小波不再是表示图像的最优基函数。换句话说，只有有限方向数的张量积小波主要适合于表示一维奇异性（点奇异）的对象，当它在处理二维（线奇异，如边缘、纹理部分）或者更高维奇异性的时候，就显得无能为力。这个缺点表现在图像中即是一条边缘信息重复地出现在各级的小波细节子带中。因此，小波在表示这些含有光滑边缘的图像时并不是最优的或者最“稀疏”的表示方法。
张量积构造的小波不能有效地捕捉图像的边缘和纹理等细节部分，而这些部分对于编码和数字水印都是极其重要的。为了更好地处理高维奇异性，一类带有方向性的“稀疏”表示方法——多尺度几何分析应运而生了。基于多尺度几何分析的水印算法也陆续出现了，Kundur于2005年首先提出Ridgelet域的鲁棒性水印算法、Curvelet域算法，但由于两种变换离散化的困难，限制了他们在实际中的应用。Contourlet变换起源于离散域，更利于计算机的实现，目前已经成功地应用到了图像去噪等领域。Baaziz首先提出了冗余Contourlet域水印算法。这些算法都证明了各自的有效性和可行性。目前，多尺度分析无论是理论还是应用都还处于探讨阶段，有关多尺度几何分析的水印算法还不丰富，继续探讨多尺度几何分析的水印算法是本论文的研究目的。
接下来，在文献的基础上，第二章将以函数的“稀疏”表示为主线，详细地介绍各种多尺度几何分析产生的背景、发展历程和逼近性能，并分析了它们各自存在的优缺点，最后指出了发展方向。
