定义2.3若是的框架，那么就称它是基准尺度上的单尺度脊波框架（Monoscale Ridgelet Frame with Base.scale）。特别的，若是紧框架，那么也是紧框架。
2.2.3曲波变换（Curvelet Transform）
Curvelet变换其实是在单尺度脊波变换的基础上发展起来的，也是对曲线奇异的物体的一种非自适应的“稀疏”表示。单尺度脊波是在某一基准尺度上进行脊波变换，而Curvelet变换是在所有可能的尺度上进行脊波变换。它首先将图像进行子带分解，对不同尺度的子带图像采用不同大小的分块，然后再对每个分块进行脊波分析，它实质上就是一种多尺度的方块脊波变换。Curvelet综合了脊波擅长表示直线特征和小波适于表现点状特征的优点，并充分利用了多尺度独到的优势，适用于一大类图像处理问题。Curvelet变换基的支撑区间满足各向异性尺度关系：width？length2 （Anisotropy Scale Relation），可以很好地逼近图像中的奇异曲线。所以，Curvelet变换在图像的去噪、对比度增强、天文图像处理以及边缘检测等领域得到较广泛的应用。
2005年，Candès等又提出了第二代Curvelet变换，它直接通过频率划分定义而不是利用脊波变换，并提出了两种快速算法。其一是基于不等价空间快速Fourier变换（USFFT），其二是基于特殊选择的Fourier采样的绕叠。两种算法都返回了一系列具有尺度参数、方向参数和空域位置参数的Curvelet系数。另外，两种变换的计算复杂度，当处理的图像时为。
与第一代Curvelet变换相比，第二代Curvelet变换也是可逆变换，但它更加简单、快速、冗余更少。
1.Curvelet的逼近能力
可以看出，Curvelet这种非自适应的方法能够达到和自适应方法一样的逼近效果。
2.小结与展望
Curvelet处理曲线奇异的能力是无可厚非的，但是对于第一代变换由于需要旋转操作和对应的基于极坐标的频率划分，使得在连续域构造Curvelet的简单，在数字图像应用中却变得不易——矩形网格上采样困难，尤其是临界采样在这种离散构造方式下更为困难。
原因在于，矩形网格采样强加了更重要的几何特性在离散化的图像上。例如，水平和垂直方向上的斜线，这些都导致了下面的这种类似Curvelet的多方向，多尺度的变换，并且直接定义于离散域的Contourlet变换的出现。Donoho在文献中也指出我们很难满足于Curvelet变换的现行效果。一方面，原始的Curvelet变换是粗糙的，因为它有16倍的数据冗余。事实上，每个子带都比原始的采样图像有着更多的系数。另一方面，基于剖分的变换，为了避免重构图像中出现块的边界效应，Curvelet数字实现时对每一个剖分块都进行了叠加处理，这大大增加了变换的冗余度。新的插值算法和改进的空间剖分有望减少变换的冗余度。
因此Curvelet的冗余问题需要更广泛的实践和理论工作，而计算速度的提高却依赖于基础软件的改进。目前，为了解决极坐标与矩形坐标之间的转换问题，一些插值方法被提出，但都依赖于超完备系统。
Curvelet变换的一个新颖而有趣的地方在于每一次的改进都导致了空域分辨率和角度分辨率的成倍增加，另外，方向随同尺度增加而增加的特性也是小波和其他方法所没有的。鉴于Curvelet变换是一种频率定义的方法，因此是否有一种空域的算法也能使每一次的改进都能导致空域分辨率和角度分辨率的成倍增加？
另外，我们必须看到，当图像的边缘并非的分段光滑函数时，Curvelet的逼近性能就非最优的了。如果边缘是沿着有限长度的非正则曲线（有界的变差函数），则Curvelet的逼近性能还不如小波。如果边缘是沿着曲线的正则性为的曲线，则逼近的衰减指数保持在2，而非最优值。
2.2.4ContourletTransform
虽然Curvelet能够很有效地捕捉曲线的奇异性，但离散化的困难，促使M.N.Do和Martin Vetterli于2002年提出一种类似于Curvelet的方向性的多分辨的变换，但它却是直接产生于离散域的变换——Contourlet。Contourlet是一种“真”的二维图像表示方法，这种方法可以很好地抓住图像的几何结构，并且因为利用轮廓线段（Contour Segment）的构造方式产生了一种灵活可变的多分辨分析的、局部的和方向性的表示方法而得名。它可以通过一个拉普拉斯塔形结构与一个方向滤波组（DFB）而构造。Contourlet可以满足曲线的各向异性尺度关系，并且提供一种快速的、结构化的像曲线波一样的分解采样信号方法。与其他分析方式最不同的是，Contourlet允许在不同的尺度下，有不同数目的方向，这也是它能成功逼近含曲线的光滑分段函数的主要原因。
反观Curvelet，它的第一步是在连续域的变换，然后对采样数据进行离散，而Contourlet是从离散域构造出发，并研究了它在连续域的收敛。特别的，利用不可分滤波器组，Contourlet提供了一种离散域的多分辨的和多方向的表达方式。这在很大的程度上，与起源于滤波器组的小波变换很相似。已证明，利用抛物线的尺度和足够的方向消失矩，Contourlet能够对具有二次连续可微的曲线的光滑函数达到最优的逼近，其冗余度比不到4/3，计算复杂度为，它已经成功地应用到图像去噪等方面。
1.Contourlet的逼近能力
定理2.7假设一个紧支撑Contourlet框架，满足尺度条件，Contourlet函数满足文献中引理1的条件，且尺度函数有2阶的精确度。由于的复杂性至少等价于不连续曲线的复杂性，此曲线是一条的曲线，所以不再有其他的逼近方式可以在逼近能力上超过。在这个意义下，表示方式对于含有的纹理的光滑函数是最优的。
2.小结
Contourlet的不足我们也应该看到。对于大多数角度滤波器，Contourlet并不能在频域迅速局部化，在这种意义下，Contourlet变换的思想是不可靠的。这也意味着在应用上，尤其是在处理科学计算问题的时候，Contourlet缺乏在空域中沿着脊线的光滑性，并且可能由于数值问题的原因而出现伪振荡。理论上，目前可知的是Contourlet并没有形成像文献中的逼近理论和算子理论那样雄厚的理论。因此Contourlet变换的理论基础还需要完善，而它在包括图像去噪等方面领域的应用还需要进一步探讨。
2.2.5Bandelet Transform和Wedgelet Transform
2003年，Pennec和Mallat在传统的小波分析的基础上，提出了一种将图像沿着在几何流（geometric flow）方向上拉伸的多尺度向量分解的基，称之为Bandelet 基。这些几何流暗示的方向是图像灰度级含有规则变化的方向。Bandelet基并不是预先选定的，而是以优化最终的应用结果来自适应地选取具体的基的组成。Bandelet基分解图像时采用了一个快速子带滤波算法。对于几何规则图形，Bandelet基由于能充分利用图像中边缘奇异性的几何特性，所以能够对它达到最优逼近，其逼近性能可达。在图像压缩和去噪应用中，快速算法（对于的图像计算复杂度为）能使图像最优化，因此使得图像的变形最小。
Wedgelet是David Donoho在研究如何从噪声数据中恢复原始图像的问题中提出来的一种方向信息检测“水平模型”，这类模型中的边缘具有H？lder正则性。采用计算调和分析的思想，Donoho给出了一种新的超完备的原子集合，称之为Wedgelet，它具有方向性、局部性和尺度性。Wedgelet为水平模型中的物体提供了一种近似最优的表示方法，逼近精度可达。这是一个自适应的方法，主要用于含有噪声的图像中检测线性奇异性的信息。
2.2.6Beamlet Transform
在多尺度几何分析蓬勃发展之下，David Donoho和Xiaoming Huo（霍晓明）于2001年提出了一种新的多分辨率图像分析框架。在这个框架下，线段扮演的角色类似于点在小波分析中扮演的角色，称之为Beamlet分析，Beamlet能够比小波变换更有效地抽取图像中的线性特征。
Beamlet变换以不同尺度、不同方向的线段作为基，图像沿基作线积分，积分值作为目标函数再进行线特征提取。
当前对Beamlet变换的研究较为活跃，且Beamlet变换已经在几个重要科学领域中取得了应用，如粒子物理中用于检测强噪声背景下的粒子轨迹，如大尺度的宇宙结构的测量，如二维图像数据分析及二维体结构的数据分析等。
小波分析提供的是在某一特定的尺度和位置下，在一固定的空间范围附近，一种局部化的尺度/位置的表示方法。而Beamlet 具有位置、方向和尺度，但这些是基于二进组织的线段库，它提供对所有线段集合的多尺度逼进。Beamlet变换与小波变换相比具有以下的优越性：
（1）Beamlet分析除有效提取位置、尺度信息外，而且可以提取方向信息。
（2）Beamlet似针（needle.like）的分析工具，以线基表示边缘，效率显然比小波基高得多。
（3）图像中的线特征往往具有空间关系，如有些线是同一条直线，有些是互连的曲线，有些是封闭的曲线，小波变换体现不出这种结构关系，而Beamlet变换可以，其中David.L.Donoho与Huo Xiaoming就提出四种结构算法。
Beamlet分析发挥了一个基本的逼近理论的角色，Beamlet链给出了平面内精密曲线的“稀疏”逼近表示，一定意义上的最优表示。与小波的“稀疏”表示相比，小波分析提供的是对光滑函数的最优稀疏表示，而Beamlet提供的是对图像中光滑曲线的最优稀疏表示。
Beamlet理论对于含噪声的细线检测和边界寻找问题提供了基本而正确的数据结构。Beamlet金字塔包含图像在所有尺度和位置上对线段的积分。在某些信号检测问题中，通常的基于像素级滤波的检测器有很差的信噪比，因此有较低的检测概率。然而隐藏在金字塔中的信息可以以较高的信噪比积分，完成用普通滤波或者普通边缘检测方法所不能完成的任务。
本章首先按照鲁棒性算法所在域的不同，总结了空域算法、变换域算法和压缩域算法各自的特点并分析了多种典型算法的优缺点。接着分析了当今最热门的小波变换自身存在的优缺点，由此引出了近年来为了克服小波变换不能表示高维奇异性的缺点而产生的一类带有方向性的、更“稀疏”的多尺度几何分析变换。
随后，以图像的“稀疏”表示为主线，探讨了目前主要的几种多尺度表示方法，阐明了它们各自产生的背景和发展历程，并仔细分析各种表示方法的逼近能力，同时也指出了各自的优缺点和发展方向。
多尺度几何分析是近几年发展起来的一种新的图像的“稀疏”表示方式，它对光滑的分段函数能够达到最优逼近且其已经成功地应用到图像去噪、压缩和边缘提取等领域。多尺度几何分析无论从理论还是应用来说，现阶段都是它发展的黄金时期，当然由于发展时间较短，理论基础还有待发展和完善，有些问题还需要进一步解决，许多新的应用领域还需要探讨，但我们相信它一定会拥有广阔的应用前景。在第三章和第四章中我们将探讨Contourlet变换在水印算法中的可行性和有效性。
