在数学教学中，为了更好地使学生掌握知识、培养他们的创新意识和能力，要尽可能地再现数学知识和结论的发现过程，因此，观察与实验应成为数学教学中的探索、学习知识的重要方法和开展实践活动的主要形式。
在研究计算圆锥体积公式的教学中，我们常常通过这样的实验作为发现结论的过程，将圆锥内装满水或沙子，然后倒人等底等高的圆柱内，学生通过实验能够发现二者的体积之间的关系。
再如，在探讨球的表面积时，可作如下实验：在一个木制圆盘的中心竖直地钉上一个钉子，再将一个与圆盘的半径相同的木制半球的顶部也钉上一个钉子。现在，把一根粗绳子的一端系在木制圆盘的钉子上，并且围绕着钉子缠绕细的绳子，围着木球的钉子缠绕起来，直到盖满木球为止，再量所用绳子的长度。比较两次绳子所用长度，将会发现，后者非常接近地等于前者的两倍，重复这样的实验，结果总是基本相同。由此，可以猜测有这样的结论：该半球的表面积是圆盘的面积的两倍，或者一个球的面积等于其球大圆面积的四倍。
在数学教学中，实验的内涵和形式应该是很丰富的，拼剪图形、折纸是研究几何图形性质的很好的实验形式。而观察则是探求规律、寻找关系的好方法。如观察图14所示，它可以看成是由n。个点组成的方阵，以大小不同的正方形分成组：1，4，9，A，n2，观察相邻的两组之间有如下关系：n2+(2n+1)：(n+1)2。
女果令2n+1=m2，那么n=m2-12，n+1=m2+12，则有m2+(m2-12)2=(m2+12)2。
上面的式子与毕达哥拉斯定理的形式相同，称m2，m2-12，m2+12为一组毕达哥拉斯数，上面观察图14所示及分析的过程实际上就是毕达哥拉斯数产生的过程。
200年前，德国数学家歌德巴赫(G．Goldbach)提出了一个命题：“凡大于4的偶数都可以表示成两个素数的和”。由于这个命题至今还未能证明，人们称之为“歌德巴赫猜想”，它的发现完全来自于观察。
概率统计作为数学的一个重要的分支，在其研究中充满了观察和实验蒲丰(C．Buffon)的投针实验是运用实验法研究几何概率的典型范例。在平地上画出一组间隔距离为一寸的平行线，以一寸长的针(质量均匀的细针)随机地掷到画有平行线的平地上，布丰利用实验的方法(具体地投针)，验证了利用模型的方法得到的结论，即针与平行线接触的概率为2/π。
数列有许多有趣的性质，就是通过对兔子繁殖问题的观察与实验的基础上得到的。
在数学解题时，我们往往通过观察寻找特征、实验解题的过程；通过观察与已有知识或方法的联系，实验解决问题的方法；通过观察已知与未知的联系，实验找出它们之间的联系并由此解决问题。
例利用观察发现命题。
(1)彼埃尔·费儿马(1601—1665年)在1640年观察了一些素数：3，5，7，11，17，19，…其中数5，13和17可表示为两个平方数之和。5=12+22，13=22+32，17=12+42，而其余的数如3，7，11，19就不能表示得出了：“被4除时得出余数1的任意一个素数的平方之和”。后来，欧拉在1742—1747年之间找到了第一个证明，再后来，拉格朗日、察基儿也相继证明了该命题。
(2)观察勾股数32+42=52，52+122=132，72+242=252人猜想：可否找到一个满足x2+y2=z2。的正整数解(x，y，z)的公式呢？
x=3，5，7，y=4，12，24，z=5，13，25
x=22-12，32-22，42-32观察：y=2×2×1，2×3×2，2×4×3
z=22+12．32+22，42+32由此得出一个猜想：x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2其中a，b取任意正整数且a>b，代入x2+y2=z2，检验即可。
观察与实践的方法，是强调参与和实践的方法，它也可以为解题作些准备。在中学数学学习和数学教学中，应当学会利用观察与实验来证明或帮助数学公式、定理的证明。例如关于多面体顶点数v、面数E、棱数F关系的欧拉公式：E+V-F=2，就可以通过观察和实验说明或证明它的正确性。总之，由于初等数学的学习是对数学的基础知识和对数学与日常生活中密切相连部分的学习，所以无论是从数学的手段还是从数学的目标来说，观察与实验都有着十分重要的作用。
（第三节 ）数学模型方法
任何一项数学应用，首先都是数学模型方法的应用。数学模型就是用数学的语言和方法对各种实际对象作出抽象或模拟而形成的一种数学结构。
数学模型方法是人们解决各种问题时常用的一种方法，它是把所考察的实际问题转化为数学问题，建立数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法。在利用数学模型方法解决问题的过程中，关键性的工作就是建立数学模型，建立模型也是具有创造性的工作，如欧拉解决七桥问题时就是他创造性地建立了数学模型，知识闪耀着指挥才华的地方，跟别人是学不到的，需要积累很多处理问题的经验才能获得。中学生进行研究性学习，绝大多数的问题来自于学习、生活的实际，需用到数学模型的方法。因此，提高数学建模的能力，是自主开展研究的前提。
建立数学模型的基本手段是数学抽象方法。一般过程是分析实际问题，抓住主要矛盾关系，经过必要的简化与假设，进行数学的抽象。这个过程是需要多方面的能力参与，如理解实际问题的能力、数学抽象能力、运用数学工具的能力以及通过实践加以检验的能力等等。
数学结构有两个方面的具体要求：(1)数学结构必须是一种纯关系结构，也就是经过数学抽象舍弃与关系无本质联系的一切属性。(2)必须借助于数学概念和数学符号来描述的结构形式。
在哥尼斯堡七桥问题中，一笔画问题就是七桥问题的数学模型。
例1哥尼斯堡七桥问题。
在17世纪的东普鲁士小城镇哥尼斯有一条小河流经市中心，河中有小岛A和D，河上有七桥连接着这两个小岛及河两岸B与C(见图15)，居民经常沿河过桥散步，于是有人提出这样的问题：一个人能否每一座桥恰好通过一次(无重复无遗漏)，回到出发点。
这个看似简单的问题，众市民反复试验均未成功，于是有人写信给当时在彼德堡科学院的数学教授欧拉，请他帮助解决。
欧拉并没有亲自去桥上走试，而是运用他的智慧，敏锐的洞察力帮他看到：该问题与所走过的路程长度无关，而岛屿、陆地只是靠桥梁来连接着的地点，从而他将问题数学化、抽象化处理：将两个岛和河两岸抽象成四个点A、B、C、D，将七座桥抽象为七条线，于是问题等价地转化为能否一笔画出上页右图所示的图形。而他的答案是否定的，因此图16不能一笔画出等价的七桥问题的答案，也就是不存在这样一条路线。欧拉对一笔画的结构特征作了深入的分析，还得到了连通图能够一笔画的充要条件。1736年欧拉发表文章阐述了自己的研究成果，并且该问题的解决对图论及拓扑学的诞生具有奠定性的作用。
通过例题，我们可以体会到应用数学模型方法解决具体问题的一般程序是：这也是数学中应用抽象分析法(此处也即是数学模型方法)解决实际问题的典型例子。
我们认为数学模型有广义、狭义两种解释。
从广义上讲，一切数学概念数学理论体系，各种数学公式、方程式、函数关系以及由公式系列构成的算法系统等等都可称为数学模型。
狭义：只有反映特定问题或特定的具体事物的数学关系结构才叫数学模型。即只有像从哥尼斯堡七桥问题中抽象得到的一笔画才叫做数学模型。
狭义的数学模型又称为数学建模。
将考察的实际问题化为数学问题构造出相应的数学模型。通过对数学模型的研究和解答，使原来的实际问题得以解决的方法叫数学模型方法。(mathematics modeling method)简称MM方法。解题步骤：
1．弄清实际问题，包括分析原型的结构，要达到的目的的要求以及掌握所提供的信息等。
2．分析处理资料和信息，对问题作必要的简化，提出合理的假设。
3．根据假设运用适当的数学工具寻求各有关事物之间的联系，构建数学模型。
4．求解数学模型即通过履行数学手续，求解与实际所对应的数学问题。
5．求数学问题的解答返回到实际问题中去，并检验解答的正确性。
下面这个例子中，我们将看到一个令人叹服的创造性的解决问题的过程。
例2上海某饭店各房间的室内温度，由控制室统一调整，一位施工的师傅发现控制室内仪表知识的温度与室内的实际温度有差异，老是调不准。后来查出原因，乃是因为高层房间到控制室的距离很长，三相电的三根线因转弯处折转不同而有长有短，因而造成三根电线的电阻不同，结果仪表上出现了偏差(如图17)。那么，如何来测量这三根电线的电阻呢？任何万用表也不能把一头放在十几层楼房间的a处(如图17)。另一头放在底楼控制室的a处，这该怎么办？
一位学过代数的青年师傅想出了办法。他假设三根电线的电阻分别为x、y，z，这是三个未知量，万用表不能直接测量出这三个量，然而我们可以把a＇b＇连结起来，在a和b处量得电阻l为x+y，然后将b＇和c＇连结起来，在b和c处测得电阻m为y+z，同理，连结c＇和a＇，可测得电阻n为z十z。
这样一来就可得到三元一次方程组
x+y=1 y+z=m z+x=n
于是不难求解x、y、z，仪表就可以调好了。
解决数学问题的过程非常简单，但是最为可贵的地方就在于这位青年师傅运用自己的智慧，创造性地建立了实际问题的数学模型。
“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，在日常教学中我们要从多方位、多角度着手培养学生用数学的意识，只是进行基本数学知识的传授和训练基本的技能的简单应用题，是很难达到培养学生创造性解决实际问题的能力的。面对现实环境的多因素干扰，学生能够产生用数学的意识，能进行适当的建模来解决实际问题的能力，需要在教学过程中的刻意培养与训练，也只有这样才能说是掌握了完整的数学知识，让数学应用意识化为信念，伴随学生的学习与生活，成为终生享用的财富。
（第四节 ）分类讨论法
在中学数学中，分类讨论思想是极为常见的。众所周知，用代数语言表述事物具有一般性。例如，用一个字母表示实数时，如果没有特殊规定，该字母可以是正数，可以是零，还可以是负数。当含有字母的式子用来表示几何关系时，就可能出现不同的情况。因此，分类讨论是不可避免的。
一般说来，中学数学中涉及的所有数学对象往往可归结为集合，因此，在我们研究和讨论问题时常常将所涉及的对象的集合根据具体的情况进行分类。将一个非空集合进行分类所遵循的基本原则就是所分成的若干个非空子集的任意两个的交集是空集，而所有子集的并为原集合。因为在中学数学中，从概念到概念之间的关系都与集合有直接关系，所以当所讨论的问题有多种可能的情况又难以对它们进行统一处理时，往往按一定的标准将讨论的对象进行分类，分别处理，再将所得的结果综合，得到问题的最后解答。
当面临较复杂的对象时，人们往往会考虑将对象按某种特征分成几个部分，逐一加以研究，再综合之，以达到认识对象整体的目的。这种分类在科学研究中是广为适用的。例如，生物学家通过直觉归纳、解剖等手段，运用分类方法编排出动植物的谱系；化学家在分类的基础上，根据元素的周期现象，预言新元素的存在及其性质。
分类是根据对象的相同点和差异点将对象区分为不同种类的逻辑方法。分类也叫划分。分类是以比较为基础的，通过比较识别对象之间的异同，根据相同点将对象归为较大的类，根据差异点将对象划分为较小的类，从而将对象区分为具有一定从属关系的不同等级的系统。
分类的目的在于使知识组成条理化，进而系统化。分类具有不可缺少的三要素：母项、子项和根据。母项是被划分的种概念，子项是划分后所得的类概念，划分的根据就是借以划分的标准。
