分类必须有一定的标准，即必须根据对象本身的某种属性或关系来进行划分。由于客观事物有多方面的属性，事物之间有多方面的联系，因此，分类的标准也是多方面的，可根据不同的需要采用不同的分类标准，对事物进行不同的分类。但每一次分类都应按照同一标准进行，所取的标准应服从于研究的目的或观察问题的角度。
任何分类必须遵循以下原则，只有这样，才能在分类过程中防止出现遗漏、重复或者混淆不清的现象。
1．分类应按同一个标准。
在分类前，应当从被分类的概念属性中，取一个属性作为依据，这与其说是原则还不如说是方法。它有两层意思：一是判别概念(属)应放在哪一类的衡量尺度；二是对两个不同的概念(属)要用同一尺度衡量，否则就会出现划分的结果重叠或过宽的逻辑错误，使划分后的结果混淆不清。
2．分类应是完备的。
分类所得的各子项外延之和必须与被分类的目项的外延相等。从量方面要求一个也不能丢掉。从集合观点看，被分类概念的外延应被分类所得各属概念的外延覆盖，各属概念的并集等于被分概念外延的全集，否则会出现过宽或过窄的逻辑错误。
3．分类应是纯粹的。
分类所得的各子项必须互相排斥，划分的子项概念的外延之间是不相容的关系。从集合的角度看，被分成的任何两类之间的不相交，即无共同元素，每一类元素之间满足一个标准或关系，不满足该标准或关系的不能属于同一类，即各属概念外延之交集为空集。如把平行四边形分为矩形、菱形和正方形，就不仅违反了第二个原则，而且也犯了“交叉”和“从属”的毛病。
所谓分类是指根据对象的相同点和差异将对象区分为不同种类的逻辑方法。分类也叫划分。分类是以比较为基础的，通过比较识别对象之间的异同，根据相同点将对象归为较大的类，根据差异将对象划分为较小的类，从而将对象区分为具有一定从属关系的不同等级系统。
分类的目的在于使知识组成条理化、系统化。而分类的标准是母项、子项和根据。母项是被划分的种概念，子项是划分后得的类概念，划分的根据就是借以划分的标准。
分类的原则：(1)合理性原则，也即分类应当做到不重复也不遗漏；(2)同一性原则，即每次划分的根据必须同一，即每一次划分时，标准只能一个，不能交叉地使用几个不同的划分标准。通常说成分类时用同一把尺子。
分类讨论的常规方法：
(1)依据数学概念的定义进行分类。如绝对值、直线与平面所成的角等。
(2)依据数学公式、原则、法则的适用范围进行。如等比数列求和公式。
(3)依据数形结合进行分类。如集合的交、并、补用数轴讨论。
(4)依据位置关系进行分类。如几何中点与点，点与线，面与面等位置关系。
(5)依据数学性质进行分类。如偶次算术根的性质，二次函数、幂函数等性质。
(6)依据参数的变化范围进行分类。
(7)依据整数的奇偶性进行分类。
用分类讨论思想解题的一般步骤：
(1)确定分类讨论的对象。
(2)进行合理的分类讨论。
(3)逐步逐级分类讨论。
(4)综合、归纳结论。
在中学数学教学中，利用分类的方法处理问题的情况主要有：
(1)给概念下定义和对概念进行归纳总结。
关于绝对值的概念，可以有这样一种定义方式：
｜a｜=a(a>0)
a(a=0)
-a(a<0)
高中的解析几何中，我们主要研究了三种不同类型的二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，给出了它们的标准型方程，但是如果我们从一般的二次曲线方程出发，通过按一定的标准分类讨论，就可以对三种二次曲线之间的联系和区别有进一步的认识，起到对概念进行归纳总结的作用。设一般二次曲线的方程为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，可以根据判别式△=B2-4AC的值，直接判定它属于哪一个类型，分类列为表。
方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
条件类型一般情况特例(退化曲线)
△<0(有心曲线)椭圆线椭圆1．点(点椭圆)2．无轨迹(虚椭圆)
△>0(有心曲线)双曲线型双曲线两条相交直线
△=0(无心曲线)抛物线型抛物线1．两条平行线2．两重合直线
3．无轨迹(两条虚线)
(2)定理、结论的论证求解过程及结论的表现形式。
在现行的初中数学课本中，关于圆周角和圆心角的关系定理“同弧上的圆周角等于圆心角的度数的一半”的证明就采用了圆心与圆周角的关系的不同情况来分类的(如图18)。
同样，在中学数学的解题教学中，无论是计算题、作图题还是论证题等，运用分类的思想方法可以帮助学生进行全面严谨的思考、分析、讨论和论证，从而获得合理的解题思路和方法。
(3)对已有结论进行推广。
此外，我们还可以在已有结论所讨论的范围基础上，对尚未讨论的情况进行探究，从而达到对结论的扩展和推广。如，在有了关于二次、三次方程的根式解以后，按照方程的次数分类，就会想到四次、五次等方程的解的问题而得到新的理论。
再如，若我们已经推导出了圆台(或棱台)中截面的面积公式，那么，我们可以进一步推导其他位置的截面的面积公式。
运用分类讨论思想可以解决许多数学问题。
(1)排列组合问题。
例1所有三位数中有且仅有两个数字相同的共有多少个？
思考与分析：符合条件的三位数可以分成如下10类。
有两个0的：100，200，…，900，共有C19=9
有两个1的：在除1以外的9个数中任选1个，在1，1之间的位置关系有3个，但应除去011这种情况，共有9×3—1=26
同理，有两个2，两个3，…，两个9的三位数各有26个，所以，26×9+9=243(个)。
(2)运用抽屉原理的有关问题。
关键是构造抽屉，而构造抽屉的实质就是根据题目结论的要求，选择恰当的分类标准，对已知条件中的所有元素进行分类。
例2在1到100的自然数集合中，任取51个数，其中必有两个数，它们中的一个是另一个的倍数。
思考与分析：构造抽屉：设P为1到100之间的奇数，按P×2n(n=0，1，……)的形式可以将1到100的所有自然数分成符合要求的50类：
A1={1，1×2，1×22，A，1×26)
A2={3，3×2，3×22，A，3×25)
A25={49，49×2}由于从50类中任取51个数，至少有两个数在同一类中。
A26={51}
A50={99}
(3)含参数问题的讨论。
例3讨论方程(k2+k-2)x2+k2y2=9的曲线的形式。
思考与分析：先划分k2+k-2=0，k2=0的根为-2，0，1。
(1)当k<-2时，k2+k-2>0和k2>0，
∴曲线是椭圆。由于这是k2+k-2<k2，
∴它的焦点在y轴上。
(2)当k=-2时，方程化为y=±32，这是与x轴平行的两条直线。
(3)当-2<k<0时，k2+k-2<0，k2>0
∴曲线是双曲线，它的焦点在y轴上。
(4)当k=0时，不存在图形。
(5)当0<k<1时，
k2+k-2<0，k2>0
曲线是双曲线，焦点在y轴上。
(6)当k=1时，方程化为y=±3，为平行于x轴的两条直线。
(7)当k>1，k2+k-2>0，k2>0，其中当1<k<2时，曲线是焦点在y轴上的椭圆。当k=2时，曲线变成x2+y2=94，当k>2时，曲线是焦点在x轴上的椭圆。
（第五节 ）数学抽象方法
人类是通过抽象获得对自然界的本质认识的。通过抽象，我们在思想上把个别的东西以个别性提高到特殊性，再从特殊性提高到普遍性，从而能够真正地、深刻地理解和把握现实世界。数学科学是对客观世界的空间形式和数量关系抽象的产物，数学的一切理主化都是抽象思维活动的结果，高度抽象、逐级抽象是数学科学的基本特征。因此，方法是数学活动的一般方法。
所谓抽象，是指在认识过程中，透过事物的现象，深入事物的里层，把事物的本质制取出来的一种方法。通过数学抽象，可以培养学生的抽象意识，从而使学生在数学解题时有意识地区分主要和次要因素、本质和非本质因素，抓往事物的本质，自觉地把某些问题转化为数学问题，抽象概括为数学模型的习惯。抽象意识是数学学高度的抽象性的反映。
数学抽象方法在数学中的具体运用，也是利用抽象方法把大量生动的关于现实世界空间形式和数量关系的直观背景材料进行去伪存真，由此及彼，由表及里的加工和制作，提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。
著名数学家欧拉在解决歌尼斯堡七桥问题时，撇开岛区、陆地的其他属性，仅仅制取它们都是桥梁的联结点，将其抽象成四个点。同样，把七座桥抽象成七条线，线的长短、曲直在这里无关紧要，要紧的是点线之间的相互联结。于是，一次无重复地走过这一成功研究采用的就是数学抽象的方法。数学抽象是一种特殊的抽象，具体表现在它的内容、程度和方法上。
1.内容上的特殊性。
数学抽象仅抽取事物或现象的量的关系和空间形式而舍弃其他一切。正如恩格斯指出：“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。”这清楚地表明了数学抽象的特殊内容：数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容，而仅仅保留了它们的量的属性，即数学抽象的目的意向只是数量关系和空间形式。这种特殊的抽象内容决定了数学与其他自然科学的区别，也决定了数学抽象的特殊性；数学抽象具有量化特征和形式化特征。
2.数学抽象的特殊高度。
和一般的自然科学相比，数学抽象的又一特点在于它所达到的高度，数学的抽象程度远远超过了自然科学中的一般抽象。
首先，数学抽象往往是在其他学科抽象基础上的再抽象。例如，正比例函数是物理学中匀速直线运动和简谐运动的再抽象。
其次，数学抽象具有逐级抽象的特点。在数学中，有些概念建立在对真实事物的直接抽象之上，从而具有较为明显的直观意义。但数学中还有许多概念则建立在较为接的抽象之上，即建立在已有概念的抽象分析之上，从而使数学抽象具有层次性。例如，在平面几何中，我们利用两点间的距离去定义点到直线间的距离，再定义互相平行的两直线的距离，进而去定义立体几何中的诸距离概念。
更为重要的是，数学抽象的特殊高度表现在数学中一些概念与真实世界的距离是如此遥远以致常常被看成“思维的自由想象物和创造物”，这即为数学中所谓的“理想元素”（如无穷远点等）。
3.数学抽象的特殊方法
在数学研究中，无论涉及的对象是否具有明显的直观意义，都只能依靠相应的定义云演绎推理，而不能求助于直观。因此，从这个意义上讲，数学抽象就是一种建构的活动，数学的研究对象是通过逻辑建构活动来得到构造的。我们可以把抽象分为：理想化抽象、强抽象与弱抽象、等价抽象、存在抽象等几类。
（1）理想化抽象。
所谓理想化抽象，是指通过抽象得到的数学概念和性质，并非就是客观事物本身存在的东西，而是在纯粹理想的状态下，对事物进行简单化与完善化的加工处理，撇开事物的具体内容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般本质的属性，抽象出相应数学内容的方法。例如，向何中的“点”、“直线”、“平面”等抽象概念，在自然界是不存在的，是人们利用理想化抽象出来的概念。
（2）强抽象与弱抽象。
所谓强抽象是指在已知概念中，加强对某一属性的限制，抽象出作为原概念物例的新概念的方法，即通过扩大原概念的内涵建立新概念的抽象方法。
例如，从四边形概念出发，从两组对边给予适当限制，则得平行四边形和梯形的概念；若平行四边形概念出发，再对边或角分别适当限制，得到矩形、菱形及正方形的概念。
所谓弱抽象是指在已知概念中，减弱对某一属性的限制，抽象出比原概念为广泛的新概念，使原概念成为新概念的特例的方法。即通过缩小原概念的内涵来建立新概念的抽象方法。
例如，从全等三角形的概念出发，借助弱抽象就可获得相似形与等积形的概念，它们分别保留了“形状相同”及“面积相等”的特性。
（3）等价抽象。
在思维中同类研究对象（具体的或抽象的个体）中抽取出来而舍弃其他非其同的属性，这样的抽象就是等价的抽象。
例：自然数的概念就是用等置抽象的思想建立起来的。每个自然数实际上都是一类等价集合的标记，它反映这类集合中元素的数目，是该类集合的类的特征。
例如，两个三角形，若它们的对应角相等，对应边成比例，那么这样的两个三角形具有相同的形象。把三角形的这种对应关系以及形象相同的特点抽象出来，就得到相似三角形的概念。
一般地，等价抽象具有3个重要的特性：（1）自反性。（2）对称性。（3）传递性。（4）存在性抽象。
这是指在研究数学问题时，有时抽象出来的数学概念，起初往往被认为是不存在的，这时可先用假设的方法抽象出来的数学概念存在性，并由此发展出一定的理论，然后在理论和实践中加以验证，从而确认新的数学理论的事理性。
