欧拉(Euler，1707-1783年)生于瑞士巴基尔城郊，其父是一位牧师，兼善数学，是欧拉儿时的数学启蒙教师。欧拉天分不凡，13岁考入巴基尔大学。欧拉在大学的老师是当时欧洲的大数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667-1748年)和雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli 1654-1705年)两兄弟，师生关系情深谊长。后来欧拉又结交了约翰·伯努利的两个儿子尼古拉·伯努利(Nicolaus Bernoulli)和丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)，这两位小伯努利后来也成长为举世闻名的数学家。到19世纪中叶，伯努利家族中出了十几位著名数学家，这是科学史上令世人敬慕的科学世家。初等微积分中的大部分内容出自雅各布·伯努利和约翰·伯努利之手。欧拉是伯努利家族最要好的亲朋，伯努利们与欧拉联合起来，对微积分的建立立下了历史功劳。
18世纪的微积分，最主要的成就集中体现在欧拉的三部名著(共七卷)之中：
①《无限小分析引论》，两卷集，1748。
②《微分学》，两卷集，1755。
③《积分学》，三卷集，1768—1770。
以上三部书是数学史上里程碑式的巨著，从18世纪到19世纪，世界各国把这三部著作定为名牌大学最佳教科书，培养了好几代数学家。甚至有人说，18世纪以后的微积分教材都是“抄袭”了欧拉这三部书写成的，不然就是抄袭抄袭欧拉这三部书的教材写成的。当今数学分析中的符号e，i，∑，f(x)等等皆首次在以上三部书中出现。
欧拉17岁获硕士学位，任约翰·伯努利的助教。
1725年，圣彼得堡科学院成立，尼古拉·伯努利和丹尼尔·伯努利兄弟双双被聘为圣彼得堡科学院教授。1727年，欧拉也应聘去圣彼得堡科学院工作。1733年，26岁的欧拉接替回国(瑞士)的丹尼尔·伯努利，任圣彼得堡科学院教授和该院数学学部主任。
对欧拉的数学成就，约翰·伯努利十分赏识。约翰·伯努利在给欧拉的一封信中说：“我教授高等分析时，这门学科还是个孩子，是您把这门学科带大成材的。”
1741年，欧拉应邀到柏林科学院任物理数学研究所所长。
1759年，欧拉成了柏林科学院的领袖人物。
欧拉是数学史上成果最多的数学家，生前发表的著作与论文560余种，篇篇高水平，有创意，是数学分析、复变函数论、微分方程、图论、变分法、概率论、微分几何、代数拓扑、数论等等重要学科的奠基人。他28岁右眼失明，56岁左眼亦失明，他在黑暗中为科学事业顽强拼搏了20余年，完全凭他惊人的想象与记忆能力，进行研究与创造。大量的繁琐冗长的推理计算只能在脑海里进行，再由他口述由子女们(欧拉是13个子女的慈父)笔录，这种方式写成的作品约占欧拉全部成果的50％。
欧拉去世后留下大量的宝贵遗稿，他谢世后的80余年间，圣彼得堡科学院不断地发表欧拉的遗作。1771年，圣彼得堡科学院失火成灾，64岁双目失明的盲人欧拉险些葬身火海，但他的许多研究成果不幸化成了灰烬，那里面不知还有多少极端了不起的科研成就！
1783年9月18日，欧拉与同事们研讨天王星的轨道，他有理有据，振振有词，在黑板上推导计算如行云流水，不料突然欧拉的烟斗坠地，欧拉的计算中止了，他的生命也同时结束，一颗开天辟地以来最耀眼的数学明星在科学殿堂中消失了。
欧拉的文笔轻松流畅，总是把他深刻丰富的思想和广泛的兴趣写得有声有色。他喜欢搞特定的具体问题、例如哥尼斯堡七桥问题，速降线问题等等，然后把从这些具体问题中提炼出来的数学思想、数学概念与方法提升到一般的概念与数学理论系统，进而创立一门新的学科。例如，他把从七桥问题得到的数学思想发展成图论与拓扑学，把速降线问题等发展成变分法。
欧拉的数学工作富含令人叹为观止的艺术性，例如他把π，e，i，1，0这五个数学中最重要的常数只用了一个“+”号和一个“=”号写成一个重要公式
eiπ+1=0
以及公式
eiθ=cosθ+isinθ
把多面体的顶数ν，棱数ε与面数的关系写成多面体黄金公式ν-ε+=2。
多面体公式的证明是十分通俗的，他把一个多面体套在一个球面上，设想球与多面体都是橡皮膜造的，把球吹大，使得多面体紧紧包在球面上，见图39。把球放在平面P上，南极为切点，北极放一盏灯，则多面体在P上的影子是一张网片。不妨设北极在多面体的一个面的内部，则这个含北极的面的影子是唯一的有无穷大面积的面。
对于四面体，它的影子如图40。
多面体至少四个面，对于四面体，数一数它的顶数ν=4，棱数=6，面数=4，于是4-6+4=2公式ν-ε+=2成立。
假设对于≤k(k≥4)，多面体公式ν-ε+=2已成立。
考虑=k+1的情形，对此多面体影子中的一个面上的一条棱(影)e，把此棱删除，则影子中的面数与棱数同时减少1个，即此时面数=k，由归纳法假设。
ν"-ε"+"=2
式中带“"”表示拆除一条棱之后的形体。又
ε=ε"+1，="+1，ν"=ν
故下式仍成立
ν-ε+=2
由数学归纳法得证Euler公式：
多面体顶数-多面体棱数+多面体面数=2
1774年，欧拉出版《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》一书，孕育了一门现今称为变分法的重要数学分支。
1696年6月，欧拉的老师约翰·伯努利在《教师学报》上提出下列速降线问题：
A，B两点不在同一条铅直线上，A较高，求路径AMB，使得动点M在自身重力作用下沿此路径由A点下滑到B点耗时最少。
约翰·伯努利用这一问题向同时代的所有数学家挑战，1697年元旦，他以《公告》的形式再次向“全世界最有才能的数学家”挑战说：“众所周知，没有什么比提出困难而又有用的问题更能激发杰出的天才人物出来为增长人类知识而工作了。通过也只能通过这类问题的解决，他们才能扬名于世，建立不朽的丰碑。”
“半年前，我曾在《莱比锡学报》(即《教师学报》)6月刊上提出这样一个问题，它的优美、有用将为所有成功地致力于求解的人所公认。当时给几何学家们的期限是从公布之日起6个月。若到期无人能解，我将公布我本人的解答。现规定日期已过，却尚未出现获解的迹象。”
“问题的意义是这样的：在连接两个给定点或从一点到另一点画的无限多条曲线当中，选择这样一条曲线，用一条细线或狭槽来代替该曲线时，其上放置的小球被释放后，将以最短的时间从一点滑到另一点。因为已不再有模糊之处，我热切地请求当代所有的几何学家都摩拳一试，运用他们珍藏的一切秘密武器，全力以赴攻克堡垒。愿他们很快荣获我们允诺的奖赏。当然，这奖赏既不是黄金也不是白银，金银只能诱惑那些卑劣而容易收买的灵魂，对这些人我们绝不指望他们能做出任何值得称赞和有益的科学成果。相反，美德是她自身最需求的奖赏。名声是一种强有力的激励，因此我们提的奖赏是由荣誉与赞美编织的桂冠，奖给品格高尚能解此问题的人士。”
事实上，约翰·伯努利的速降线问题的数学模型如下：
设A点与B点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，见图41，则小球下降的速度为ν=2g(y-y1)。
式中g是重力加速度。设未知的速降线的函数表达式为y=y(x)，沿y=y(x)小球由A点滑到B点的时间为。
T=∫10dsν=12g∫x2x11+(y"(x))2y(x)-y1。
取最小值的光滑函数y=y(x)。
参加解决速降线的数学家有牛顿、莱布尼兹、约翰·伯努利·拉格朗日和欧拉。
欧拉和拉格朗日是变分法的创始人。
欧拉把速降线的数学模型推广到一般形式，即考虑∫x1x0F(x，y(x)，y"(x))dx。
取极值的问题，其中y(x)是未知函数，F与y(x)皆有二阶连续导数，且满足y(x0)=y0，y(x1)=y1。
1736年，欧拉对所谓变分问题。
∫x2x1F(x，y，y")dx
y(x1)=y1，y(x2)=y2(23)
给出所求极值曲线y=y(x)应满足“欧拉方程”
ddx(Fy")-Fy=0(24)
当F中不显含x时，Fx=0，于是欧拉方程变成Fy"y"-F=c。式中c是任意常数。
事实上设y(x)满足式(23)，且y(x)在［x1，x2］上二次连续可微，考虑［x1，x2］上的二次连续可微函数η(x)，η(x)满足η(x1)=η(x2)=0，取适当小(｜a｜≤1)的参数a，令y-(x)=y(x)+aη(x)。
当a=0时，y(x)=y(x)，且y(x)在［x1，x2］上二次连续可微。把y(x)代替y(x)代入S=∫x2x1F(x，y，y")dx得。
S(a)=∫x2x1F(x，y，Y")dx
=∫x2x1F(x，y(x)+aη(x)，y"(x)+aη"(x))dx
S(a)应在a=0时取极小值，从而S"(0)=0，由于
S"(a)=∫x2x1［Fyη(x)+Fy"η"］dx
S"(0)=0=∫x2x1［F(x，y，y")yη(x)+F(x，y，y")y"η"(x)］dx
把∫x2x1Fy"η"(x)dx分部积分得
∫x2x1Fy"η"(x)dx=η(x)Fy"｜x2x1-∫x2x1η(x)ddx(Fy")dx
=-∫x2x1η(x)ddx(Fy")dx
于是得
∫x2x1η(x)［Fy-ddx(Fy")］dx=0
由η(x)的任意性得
ddx(Fy")-Fy=0
即欧拉方程(24)成立。
当F中不显含x时，由欧拉方程(两端乘以y")得
y"［ddxFy"-Fy］=ddx［Fy"y"-F］
Fy"y"-F=c(25)
把欧拉方程用于速降线问题，这时
F(x，y，y")=1+(y")22g+(y-y1)
Fy"=y"1+(y")22g+(y-y1)
=y"2gy1+(y")2(取y1=0)
由欧拉方程(25)得
(y")22gy1+(y")2-1+(y")22gy=c
c2gy1+(y")2=(y")2-［1+(y")2］=-1
c2(2gy)［1+(y")2］=1
y(1+(y")2)=c1(26)
在式(26)中令y"(x)=p(x)，则
(1+p2)y=c11+p2
进而得
p=dydx=c1-2pdydx(1+p2)2，dx=c1-2(1+p2)2dp
令p=tanφ，dp=1cos2φdφ
dx=-2c11(1+p2)21cos2φdφ
=-2c11(1+tan2φ)21cos2φdφ
dx=-2c1cos2φdφ
积分后得
x=c12［-2φ+sin(-2φ)］+c＇＇
令-2φ=t，得
x=c12［t+sint］+c＇＇y=c12［t+cost］
令x1=0，即x1=0时y1(x)=0，又令t=π+θ则得到
x=a(θ-sinθ)y=a(1-cosθ)(27)
式(27)是以a为半径的一圆沿直线滚动时圆周上一点的轨迹，称为旋轮线或平摆线。即速降线是一条旋轮线。
欧拉在天文学与力学等领域也有非平凡的成就，他的著名的非数学著作有：
①《行星与彗星的运动理论》，1744。
②《月球运动理论》，1753。
③《日蚀的计算》，1754。
④《力学或解析地描述运动的理论》，1736。
⑤《流体运动原理》，1752。
⑥《流体运动的一般理论》，1755。
此外，欧拉还著有大量关于物理学、建筑学、弹道学以及哲学、音乐乃至神学的著作。
当代“欧拉问题”专家、瑞士科学院院士费尔曼对欧拉能有如此之巨大的成就分析原因时，总结了以下三条：
①惊人的记忆力。
②罕见的聚精会神的能力。
③孜孜不倦。
他的恩师约翰·伯努利说：“欧拉是最善于学习和最有天赋的科学家，是最驰名和最博学的数学家。”
