下面的问题是，演示一切可以被演示的。儿童可能在没有任何自觉意识的情况下就合乎逻辑地学起了乘法表并学会做减法题，他甚至会成为适切应用规则的很好的算术家，不过他却并不明白这些规则的道理。但是，算术要成为一种基本的数学训练。就其原因而言，道理在于，算术的每一个步骤对儿童都是清晰的，2＋2=4是一个不证自明的事实，几乎不容示范，但是4×7=28则可以求证。他有一袋豆子，摆成4排，每排7颗，然后再往上加，结果：7加7是14，再加7就是21，再加7就是28；那么，在28里有几个7？答案是有4个。由此证明，4×7=28是对的。如果没有演示，在儿童的眼里，乘法只是加法的快捷方式。在所有初级的算术课上，可用一袋豆子、一些筹码或纽扣作为教具，儿童应该能够随意地应用这些东西；也可以不用豆子或纽扣，在小石板上列出式子，解题之前，先做心算，在心里进行加、减、乘、除。儿童可以用豆子列出一个式子，于是得到：
0 0 0=3颗豆子
0 0 0 0=4颗豆子
0 0 0 0 0=5颗豆子
让他用这些材料做练习，直到他先是不用数豆子就说出答案，然后不用看豆子就能说出答案，而且能说出2＋7=9，等等。就这样，用3、4、5……每个数字，在他学着每一行的加法式子的时候，叫他用富有想像力的材料做练习，如“4只苹果＋9只苹果”，“4颗坚果＋6颗坚果”，等等；最后，开始用抽象数字运算：6＋5，6＋8。列减法式子与加法式子应同步进行。因为，他摆出每一行加法式子的时候，与摆出减法式子没有本质区别，不同的只是他要从中拿走一颗或两颗豆子，而不是加上一颗或两颗豆子。同样，这种练习也要做到他能很快地说出答案，7-2=？，5-2=？待他把每一行加法和减法都做完，他可以把这些式子以符号的方式写到石板上，就是说，如果他已经学会了书写数字。事实证明，儿童理解减法比理解加法具有更大的智力难度，教师一定要慢慢来。从4个手指中拿掉一个手指，3个坚果里拿掉1个坚果，就这样一步一步地，直到他明白他在干什么为止。当一个儿童能够非常迅捷地加减到20个数的时候，就可以用豆子列出乘法和除法的式子了，以6×2为例，通过摆两行豆子，每行6颗，让儿童明白，“6的双倍就是12”。当儿童已经学得很充分，不必看豆子就能说出2×8=16，2×7=14，等等，他就可以用4、6、8、10、12颗豆子，把它们分成两组，然后计算在10、12、20里有多少个2。用每一行里的乘法式子把这些答案算出来。
问题
现在，他将面对更具有挑战性的问题。如，“一个男孩有两个10只苹果，如果4只苹果一份，可以得到几份苹果？”他会用混杂的数字来解这道题，比如7＋5-3。如果他一定要借用豆子得到答案，那让他这么做好了。但是，要鼓励他用充满想象的方式使用豆子，要尽量趋近于抽象数字的运算法。细致而又循序渐进的教学加上儿童日常的智力训练，可能是初级阶段儿童发展他们真正的数学能力的方法，而且，可以提高儿童精力集中和用脑的习惯。
符号
当儿童能够非常迅捷地处理简单数字时，他就该面对难题了，而这取决于他对作为科学的算术的真正理解，换言之，取决于他以后所要面对的所有题目的教育价值。一定要让他明白算术的符号系统。如在前面一样，最好先从具体开始，在一个儿童已经掌握了非常容易演示的1先令里有12便士这样的概念以后，让儿童获得10是一个单位这样的10位数概念。给他一些便士，比如50，指出带着这么重的钱去商店买东西很不方便。去商店买东西最好用轻些的钱——先令。一个先令是多少便士？那么，50便士可以换成多少先令？他把它分成12份，结果发现，他可以得到4份，但是多出2便士；也就是说，50便士等于4先令零2便士。我以5便士一磅的价格买了10磅饼干，用了50便士，但是，售货员给我开的单子上写的是4先令2便士。让儿童看看这两个数字是如何记下的：便士，是面值最小的钱，写在右边；先令，是面值稍大的钱，写在左边。当儿童对先令和便士已经有了清晰的认识，当他已经明白在右边数字栏里的2是便士，在左边数字栏里的数字是先令以后，就可以告诉他10以及10作为一个单位的概念，要注意不可以操之过急。告诉他，那些没有受过教育的人只能数到5——当他们想要表达一组很大的数字的时候，他们只会说“森林里有5个5个人”，“河里有5个5条鱼”。如此之多的数，我们可以成年累月地数也不会数到数的尽头。但是，尽管如此，我们能数的数只有这么几个，而且，可以用来表达数字的字符也只有这么几个。我们仅有9个字符外加一个零。我们用第一个数和零组合在一起表达另一个数字10，这之后我们必须重新开始数，一直数到2个10，然后，再重新开始，数到3个10，接下来依此类推。我们称2个10为20（twenty），3个10为30（thirty），因为“ty”的意思就是10。但是，如果我看见一个字符4，我如何才能知道这是十位数的4还是个位数的4？利用一个非常简单的方法就行了。十位数有它自己的位置。如果你看见一个字符在十位数的位置，你就会知道它是60。十位数总被置于个位数之前。当你看见两个挨着的字符，如“55”，左边的字符就是十位数，如此，这个数字边上的5代表的就是一个个位数。让儿童用十位数和个位数的数字做练习，直到他已经掌握了个位数、十位数的值的概念，直到他会嘲笑愚蠢地把个位数的7写到十位数的位置，并知道，如果这样，结果就变成70了。接下来，他就要准备百位数以内的练习了，如果他对规则已经掌握得很好，他很快就能懂得百位数的概念，这就是，每向左移动一次，就意味着数字的值增加了10倍。同时，让他自己来算，决不要让他用那些他所不懂的符号，当他开始用加法或乘法运算的时候，让他算就是了。根据可能的情况，不要说“20”或“30”，而要说“2个10”、“3个10”，或者“3个100”。
称重与测量
如果一个儿童在这个阶段没有打好基础，以后的算术就只能凭经验了。根据同样的规则，让儿童通过称与测学习“称重与测量”，给他秤和砝码，沙子或大米，纸和线绳，这样就可以称量了，拿一个打得结实的包裹，看它有几盎司、几磅，等等。这个包裹不是一道算术题，但它具有教育性，同训练简洁、熟练和迅捷的练习一样，它提供了可观的判断练习。用这样的方式，让儿童做英尺和码的练习，让他根据尺寸画出他自己的桌子。不仅让他以这样的方式称量他身边的东西，而且让他面对需要称量的问题做出自己的判断。比如，这块桌布几码长？这幅地图或画的长宽各是几英尺？看看这本准备拿到邮局去寄的书有多重？获得这样的能力对一个人处理生活中的事情非常有帮助。仅因为这个，也应该对儿童进行这种能力的培养。在对具体的东西进行称量的同时，教师要有意识地把“分数”的概念贯穿在其中，比如，半磅、四分之一码，等等。
算术是训练的一种方法
作为培养儿童养成一种严谨习惯的手段，算术非常有价值。但是，生成这种严谨科学的创造性，同时又会培养人在思维方面打破常规的精神，培养人对既有真理和一般信念的超越，这是非常值得称道的！在数学课上，下面的做法是被允许的：誊写、提示、讲解、帮助学生克服困难，让学生用眼睛看着题目给出他所知道的答案。一个蹩脚的教师足以毁掉任何一个儿童，其蹩脚的程度可以达到把让学生得出差不多对的数看成是习以为常的事，把一道题的得数算错了只当是错了两个数字等，然后，让儿童把这道题糊里糊涂地重做一遍。
宣布一个数是对或错
这并不是问题的关键。说一个得数错一定有错的原因，不能让儿童脑子里有这样的概念，以为错的得数可以通过修正而变成对的。这并不等于说做错了题就没有希望了，他可以在做下一道题的时候，给出正确答案，而且一个聪明的教师会把看着他做对这道题作为自己的责任，并让他带着新的希望开始。那个算错的题一定先放到一边，对他的进步不能操之过急。对教师而言，她不能从任何其他科目中获得这种在儿童身上发现的他的能力日渐提高的愉悦。不要让他有依赖感，要让他靠自己的内在力量向前走。先给他一些简单的题，先用语言而不是用数字激起他内在的热情，这种热情会使他全神贯注地学习并学得很快。对儿童而言，要让他的算术课成为一种逻辑清晰、思维敏捷的日常训练，这样，他心智的发展就会像春天发芽的小树苗一样明显。
算术
我想请读者读迈瑟斯？珊南斯奇恩和奈斯比特合写的《算术ABC》，而不是将大家带入小学算术教学这样的主题上来。该书作者从穆勒的《逻辑学》段落中发现了他们的方法：数字科学的真谛全部都是建立在可感性基础之上的。我们通过用眼睛看、用手指摸来感受那些给定物的数值。比如，10个球，我们可以通过我们的感官将其进行种种拆分或重组，但最后的数字还是10。所有改良了的儿童算术教学法都遵循着这样的知识逻辑。在学习算术的过程中，所有那些希望促进儿童智力进步的人，所有那些要教孩子们算术而不仅仅是教他们数字的人，现在，就用我们所描绘的方法，用这种可感的直观手段来进行教学吧。现在，我们也许可以来看看这本卓越的书中的不足了。我认为，其不足的唯一根源在于具体与抽象之间关系的把握。确实，数字科学的真谛是建立在直观基础之上的，但是，那些与数字相联的实物，比如20个球、10个坚果、10片树叶、10只羊或者别的什么，眼睛和手指一经与它们联系在一起，数字和实物之间的联系就在儿童的头脑中形成了，儿童就能意识到各种各样的数字和实物之间的联系了。事实上，这时他已经开始在用数字进行思考而不是用实物进行思考，换言之，他已经开始数学思维了。由此，我认为，那些取代了十位、百位、千位数的木棒或方块等图形方法，虽然是精心设计的，但其问题在于，由于这些设计花样繁多，它们反而导致了儿童思维的混乱，同时，由于图片占据了主导地位，应该被说明的事物也被遮蔽了。另一方面，当有必要让儿童通过较小的东西形成大的数字观念时，多米诺、豆子以及在黑板上画出的图形、数字以及相类似的东西，对儿童来说是有帮助的。但是认识一个大的数字符号和用这个符号进行运算是截然不同的两回事。上面这些微不足道的例外并不能影响这本书的应用，没有什么比认真分析数字对自己的工作精益求精更令人愉快的事了。这正是，“大脑一次只能把精力集中在一个难题上面”。只有当作者站在儿童的立场上时，他才能发明出上面的例子，才能给出上面的问题。我奉劝那些对算术教育感兴趣的人去读一读珊南斯奇恩先生的《小学算术教学》这篇文章。
为数学做准备
过去人们普遍认为，长期不断地观测外部可见的标记（几何图形和数字），能从内部、从精神上引发人的数学天赋，至少，能引发人对数学的偏好。但是，那个时候的教育家忘记了，当他们把成盒的“各种造型”、粘贴而成的正方形、五角形、六角形及别的东西，堆放到现成的教室里、堆放到儿童面前时，无聊便在这些地方、在孩子们中间无所不在了，这种无聊或厌倦对我们所有人来说都不稀奇，而儿童比成人更容易感到无聊、感到厌倦。令人感到厌倦的人或物会抑制我们的思维，使我们变得无所事事，会使我们心怀厌恶地想逃离开。狄更斯用充分的证据、以强烈的反对态度向我们展示了在那个小葛擂硬学习的地方发生的这种不幸，罗斯金也以天才的方式揭示了这种谬误。毫无疑问，各种几何图形是丰富的，它们轮廓生动美丽，有形、有态，像山丘、像植物，但这只是一种表象。对大脑来说，这种轮廓的确是美丽而且奇妙的，它已经引发人的思维，使其迈进了几何学的门槛。但是，展现在儿童面前的不应该只是轮廓，而应该是有轮廓的实物。而且，让儿童的眼睛去熟知他自己用圆规做成的或他自己缝在卡片上的各种模型，让他们满怀希望地从这些有形物中引发出观念来，这不正是一种相反的方法吗？观念必须生成形态，这对初学者来说可能是一种规律，任何从有形物中生成的观念联想只能是观念最初形成时的一种状态。我认为，任何为数学学习所做的准备都不必那么急迫，如果你已经允许一个孩子自己思考，那么，就不能强迫他学习，兴高采烈地追求新知是水到渠成的事情。数学学习之所以重要，其原因是，正常的大脑对数学学习有一种天然的驱动力和能力。同时我认为，无论是作为数学教学还是数学准备，刻意经营反而会导致对数学学习兴趣的降低。
自然哲学
一种事实基础
