［40］梁治学，胡燕，周语平，等.参芪平糖宁对实验性2型糖尿病大鼠胰岛素抵抗的影响［J］.中医药学报，2010，38（1）：35-36.
1马永平，男，2010级生态学专业。
2赵海燕，女，博士，研究员，硕士研究生导师。
对流项离散格式的比对分析
董建强1 李春光2
摘 要：本文在有限体积法的基础上，针对流体流动控制方程中一阶对流项，选用不同控制节点构造相应的插值函数对对流项进行离散化处理。而对流项离散形式对流动问题的描述起着至关重要的作用，甚至会影响问题求解的敛散性。为此，本文通过采用一定的算例对对流项的各种离散格式进行比对分析，选取出一种相对高效、合理的离散格式。
关键词：有限体积法；离散格式；算例分析
从流体流动现象的分析来看，描述流动现象的微分方程通常被处理为了一类具有非定长不可压缩的Navier-Stokes方程，此方程主要包括一个时间微分项、两个一阶微分项和一个二阶微分项。然而在对流动问题进行分析、求解时，首先要对各个微分项进行离散化的处理，通常二阶微分项也就是扩散项，可以直接采用无条件稳定的二阶中心差分来对其进行离散求解。而对于两个非线性的一阶对流项和一阶压力梯度项来说，其离散形式会极大地影响到方程求解时的稳定性与收敛性。其中，对流项的处理主要会涉及其离散格式的选取问题，而压力梯度项的处理则主要会涉及压力与速度的耦合问题。
针对上述所存在的问题，为了更好地描述流体流动现象，把握其运动规律，本文主要从两个方面来展开：一方面，利用有限容积法来对各微分项进行离散化处理，即通过运用控制节点之间的差值来表示控制体界面上的物理量及其导数项；另一方面，采用一定算例对对流项的各种离散格式（如中心差分、一阶迎风差分、二阶迎风差分、指数格式、乘方格式、混合格式、QUICK格式、改进的QUICK格式）进行比较分析，选取一种高效而合理的对流离散格式，尽量避免数值求解时假扩散现象的产生，减少其对流动现象求解的影响，从而取得比较好的求解效果。
1. 控制方程
1.1 控制方程的形式
在自然界或工程领域中所遇到的流动现象，其运动过程基本上都遵循物理学界的三大守恒定律（质量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律），流体动力学的控制方程正是对这些守恒定律的数学描述。对于二维不可压缩流动问题，通常被相应地处理为一类具有非定长不可压缩的Navier-Stokes方程。
1.2 控制方程的离散
通过上述对流动现象控制方程的描述可知，各控制方程主要是由一些一阶或二阶微分项构成。这就要求在对流动问题进行分析、求解时，需对其各个微分项进行离散化处理。本文主要利用如图1所示的计算网格，运用有限容积法的思想，通过运用控制节点之间的差值来表示控制体界面上的物理量及其导数项，从而达到对各微分项的离散化处理。
即根据图1-1所示的计算网格，针对通用控制方程式（1.5），将压力梯度项从源项中分离出来，然后利用有限体积法在控制体P及时间段Δt内对其进行相应的积分有：
在对上式进行积分离散时，时间项、源项在控制节点处均采用全隐的离散格式。对对流项与扩散项而言，则通过采用控制节点上的值选取合适的插值函数来表示，其中扩散项通常采用二阶中心差分来表示，而对流项的形式则是多种多样的，但不论采用何种插值形式，最后均可将二维瞬态对流扩散微分方程离散化后，按控制节点变量整理为如下通用离散方程形式：
2. 对流项离散格式
在对上述流动现象微分方程离散时，由于时间项采用的是全隐式的积分方案，瞬态流动与稳态流动的差别仅仅是对瞬态项的处理，但这并不会影响对方程离散格式的说明。因此，为了便于对离散过程的分析、说明，在这里仅以稳态不可压缩对流扩散方程的离散为例来进行分析。
针对对流项在方程离散求解时所存在的问题，国内外学者对其提出了多种离散处理方法，如中心差分、一阶迎风差分、二阶迎风差分、指数格式、乘方格式、混合格式、QUICK格式、改进的QUICK格式等。下面以一维稳态对流扩散问题为例，利用如图2所示的控制容积，对对流项的各种离散格式做一简要说明。
3. 离散格式的比较
针对前面几节对微分方程及其对流项的离散处理描述，下面通过选用一定的算例对对流项的各种离散格式进行比较、分析。
3.1 算例1
以一维无源稳态对流扩散问题为例，设某场变量？覬经过对流扩散过程从一维区域的x=0点输运到x=L点，流体密度ρ=1.0kg/m3，L=1.0m，扩散系数Γ=0.1kg/（m·s）。下面分别以流速u=0.5m/s和流速u=2.5m/s为例，并选用不同粗细的网格比对各种离散格式进行比较分析，其比较结果如下图所示：
3.2 算例2
流动计算区域如图3-13所示，设速度场为u=2m/s，v=2m/s的均匀场，流动方向沿对角线AA′，场变量？覬在西侧AB和北侧BA′为？覬=100，在东侧A′B′和南侧B′A边界？覬=0。设流动为稳态的无源项、无扩散的纯对流现象，此问题的准确解为如图3-14所示的阶梯函数，即在对角线AA′处的左上角区域？覬=100，右下角区域？覬=0，且在两条对角线的交叉点处有一个阶跃（？覬从100突然变到0）。
类似于算例一的处理方式，运用不同粗细网格比来对二维对流项离散格式进行比较、分析，其部分计算结果如图3-15所示：
首先，通过上述对两个数值算例的分析可知：对流项的不同离散求解格式会对数值求解的精度产生一定影响，甚至会影响到数值解的稳定性和收敛性。如图3-1、图3-3所示，在同等条件下，中心差分格式（CDF）与一阶迎风格式（FUD）的数值求解精度相对较低，而QUICK格式、指数格式（EDF）、乘方格式（PDF）的数值求解精度较高。由图3-2可知，中心差分格式在粗网格下求解时易出现振荡现象，产生不真实解，从而易引起假扩散现象。
其次，由上述分析也可知：网格的加密，可以改善或提高各离散格式的求精度。如图3-4、图3-5、图3-6、图3-7所示，在网格加密的过程中，各离散格式所得的数值解更加逼近解析解，即网格越密，精度越高；同样，由图3-4可知，网格的加密也可以改善或避免问题求解时出现的假扩散现象，如中心差分格式在网格数5×5时出现的振荡现象，而当网格数大于或等于30×30时，这种振荡现象就可以得到避免。
最后，由上述数值算例结果还可知：部分离散格式在较粗网格比时就可以达到一些格式在较细网格比时的求解精度。如图3-8、图3-9、图3-10、图3-11所示，QUICK格式在网格数20×20时就可以达到迎风格式在网格数100×100和中心差分在网格数50×50时的求解精度，而指数格式或乘方格式在网格数5×5，20×20时就可以达到QUICK格式在网格数50×50时的求解精度。
综合上述分析可知，在各离散格式中，对问题运用指数格式和乘方格式所得到的描述结果相对较好，由图3-12可知乘方格式与指数格式的求解精度基本相当，且又知乘方格式的表示形式相对指数格式较简单，故可得在对流项的各离散格式中，乘方格式相对较好，具有较高的求解精度和计算的方便性。
4. 结论
本文在流体流动控制方程及其离散的基础上，针对对流项离散时所存在的问题，通过采用一定的算例对对流项的不同离散格式进行了比较、分析，得出以下几点结论：
（1）低阶精度的对流离散格式（如中心差分格式）在问题求解时易出现假扩散现象，尤其是在网格较粗的情况下。
（2）在同等条件下，网格的加密有利于提高问题的求解精度，甚至可以避免或改善问题求解过程中所出现的假扩散现象，但会增加求解所需的时间和空间。
（3）在一定条件下，QUICK格式、指数和乘方格式相对于中心差分格式、迎风格式的求解精度较高。
（4）部分对流离散格式在较粗网格比时就可以达到如中心差分格式和迎风格式在较密网格比时的求解精度，甚至更好。
（5）经综合比对、分析后可得，在对流项各离散格式中，乘方格式相对较优，具有较高的求解精度和计算的方便性。
参考文献：
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［8］H.K.VERSTEEG and W.MALALASEKERA.An introduction to computational fluid dynamics The finite volume method［M］.1998：156-167.
1董建强，男，2009级计算数学专业。
2李春光，男，博士后，教授，博士研究生导师。
三等奖
a进制最小能量区间小波框架的构造
黄永东1 李秋富2
摘 要：基于小波多尺度特征，本文对a进制最小能量区间小波框架进行了系统研究，其中a为任意大于等于2的正整数。首先，给出了a进制最小能量区间小波框架的定义，建立了a进制最小能量区间小波框架的充要条件；其次，设计了支撑长度为任意整数γ的具a进制最小能量区间小波框架的构造算法，并构造性地给出了构造算法中矩阵表达式；最后，给出了最小能量区间小波框架的分解与重构算法，并构造了数值算例。
关键词：尺度函数；最小能量框架；区间小波；伸缩因子
小波分析是近年来发展起来的新兴学科，在众多领域中有着广泛的应用。最初研究的小波都是无穷区间上的，然而大多数实际问题都是在有限区间上的，如微分方程求解、图像处理、信号分析等。如果此时仍用L2（R）上的小波来处理，便存在逼近空间和信号空间不匹配的问题，进而会产生“边界效应”，导致不理想的处理效果。为了解决这个问题，人们提出了区间小波的概念。Frankin最早给出［0，1］上的小波构造。Meyer把实数上的多分辨分析限制到有限区间［0，1］上，形成一个L2（［0，1］）空间的多分辨分析，从而产生有限区间上的小波。文献［1-4］给出了用不同的方法构造出［0，1］上的小波。为了便于应用，许多学者［5-10］又研究了区间多小波，因为多小波可以同时具有连续性、紧支撑性、正交性以及对称或反对称性。无论是正交区间小波、双正交区间小波还是正交区间多小波、双正交区间多小波，都要求尺度函数的整平移构成其闭线性张成子空间的Reisz基、正交基或双正交基。如此，便会出现下面一些不足之处，一是可能在信号分解和重构时会增加计算复杂性，二是在恢复信号过程中可能导致数值不稳定，三是在双正交情况下分解小波基和重构小波基不能随意交换。
幸运的是，除了正交小波和正交多小波之外，最小能量框架也能避免在函数分解重构过程中由不同的基函数所引起的计算上的困难。框架理论最初来源于信号处理，1952年，Duffin R.J.和Schaffer A.C.［11］在研究非调和傅立叶级数时，提出了Hilbert空间上框架的概念。但在当时及以后相当长时间内，人们并没有给予其足够的重视。当小波理论蓬勃发展时，Daubechies I.，Grossmann A.和Meyer Y.［12］把连续小波变换的理论与框架理论相结合定义了仿射框架（或称小波框架）后，人们才开始研究框架及框架的应用，Daubechies I.，Chui C.K.，Ron A.，Shen Z.，Christensen O.，Casazza P.G.，孙文昌等人的研究工作极大地推动了框架理论的发展。框架既能克服正交、双正交小波的不足，又增加了适当的冗余性，从而应用框架恢复信号过程中的数值计算更稳定；框架不但具有好的时频局部化特性和平移不变性，而且比正交小波或双正交小波更易于设计。如今的框架已经广泛应用于信号分析、图像处理、数值计算、Banach空间理论、Besov 空间理论等理论研究和应用领域［13-26］。
