为了将区间小波和小波框架各自优点完美地结合到一起，高协平在文献［27］中系统地研究了二进制最小能量区间小波框架的构造以及分解与重构算法。由于在文献［27］中并没有在构造算法、分解与重构算法给出中矩阵的具体表达式，且出于信号多通道理论需要，基于小波多尺度特征，本文对a进制最小能量区间小波框架进行了系统研究。首先，给出了a进制最小能量区间小波框架的定义，建立了a进制最小能量区间小波框架的充要条件；其次，设计了支撑长度为任意整数γ的具a进制最小能量区间小波框架的构造算法，并构造性地给出了构造算法中矩阵表达式；最后，给出了最小能量区间小波框架的分解与重构算法，并构造了数值算例。
结束语
本文中，具有任意伸缩因子a的最小能量区间小波框架。首先，我们将最小能量区间小波框架的定义推广到任意伸缩因子a，a≥2，a∈Z，并给出了形成最小能量区间小波框架的充要条件。其次，我们给出了生成长度为γ的支撑区间的最小能量区间小波框架的充要条件及构造算法；最后，文中给出了基于最小能量区间小波框架的分解重构算法和几个数值算例。
参考文献：
［1］Andersson L，Hall N，Jawerth B，et al.Wavelets on closed subsets of the realline.//SCHUMAKER L L，WEBD G，Recent Advances in Wavelet Analysis.Boston：Academic，1994：1-60.
［2］Guan L T.Uncontrolled node’s B-spline wavelet on the interval [0，1].Journal of Engineering Mathematics，1998，15（3）：1-16.
［3］Cohen A，Daubechies I，Vial P.Wavelets on the interval and fast wavelet transforms.Appl Comput Harmon Anal，1993，1（1）：54－81.
［4］Chui C K，Quan E.Wavelets on a bounded interval.Numerical Methods of Approximation Theory，1992，9（1）：53－75.
［5］Hardin D P，Maraovich J A.Biorthogonal multiwavelets on ［-1，1］.Appl Comput Harm Anal，1999，7（1）：34－53.
［6］Dahmen W，Han B，Jia R Q，et.al.Biorthogonal multiwavelets on the interval：Cubic Hermite splines.Constr Approx，2000，16（2）：221－259.
［7］Han B，Jiang Q T.Multiwavelets on the interval.Appl Comput Harmon Anal，2002，12（1）：100－127.
［8］Yang S，Cheng Z X.Orhtogonal multiwavelets basis with multiplicity r on the interval［0，1］.Acta Math Sinica.A，2002，45（4）：789－796.
［9］Gao X P，Zhou S.A study of orthogonal，balanced and symmetric multiwavelets on the interval.Science in China Ser.F，2005，48：761－781.
［10］Zhao Y M，Huang Y D.Balanced multiwavelets on the interval ［0，1］with arbitrary integer dilation factor a.Int J Wavelets Multiresolu Inf Process，preprint.
［11］Duffin R J，Schaffer A C.A class of nonharmonic Fourier series.Trans Amer Math Soc，1952，72（2）：341－366.
［12］Daubechies I，Grossman A，Meyer Y.Painless nonorthogonal expansion.J Math Phys，1986，27，1271－1283.
［13］Hen？觃ndez E，Weiss G.A First Course on Wavelet.Fla：CRC Press，1996.
［14］Daubechies I.Ten Lectures on Wavelets.Philadelphia：SIAM，1992.
［15］Christensen O.An Introduction to Frames and Riesz Bases.Boston：Birkhāauser，2003.
［16］Benedetto J J，Li S.The theory of multiresolution analysis frames and applications to filter banks.Appl Comput Harmonic Anal，1998，5（4）：389-427.
［17］Chui C K，He W，Stockler J.Compactly supported tight affine frames with integer dilation and maximum vanishing moments.Adv Comput Math，2003，18（2）：159-187.
［18］Daubechies I，Han B，Ron A，Shen Z.Framelets：MRA-based constructions of wavelet frames.Appl Comput Harmonic Anal，2003，14（1）：1-46.
［19］Ron A，Shen Z.Affine system in L2（Rd）I：the analysis of the analysis poerator.J Func Anal，1997，148（2）：408-447.
［20］Ron A，Shen Z.Affine system in L2（Rd）II：dual system.J Fourier Anal Appl，1997，3（6）：617-637.
［21］Ehler M.On multivariate compactly supported Bi-Frames.J Fourier Anal Appl.2007，13（5）：511-532.
［22］Lai M，Stockler J.Construction of multicariate compactly supported tight wavelets frames.Appl Comput Harmonic Anal.2006，21（3）：324-348.
［23］Bownik M.A characterization of affine dual frame in L2（Rn）.Appl Comput Harmonic Anal.2000，8（2）：282-309.
［24］Huang Y D，Cheng Z X.Minimum-energy frame associated with refinable function of arbitrary integer dilation factor.Chaos，Solitons and Fractals.2007，32：503-515.
［25］Huang Y D，Zhu F J.Characterizations of tight frame wavelets with special dilation matrices.Mathematical Problems in Engineering.2010，ID：128294，26pages.
［26］Huang Y D，Sun N.The characterizations of A-Parseval frame wavelet.ACTA MATH-EMATICA SINICA，Chines Series，2011，54（5）：767-790.
［27］Gao X，Cao C H.Minimum-energy wavelet frame on the interval.Science in China Ser.F，2008，51（4）：1547-1562.
［28］Petukhov A.Construction of symmetric orthogonal bases of wavelets and tight wavelet frames with integer dilation factor.Appl Comput Harmon Anal，2004，17：198-210.
［29］He Y T.Compactly supported minimum energy frame.Mathematica numerica sinica，2011，33（2）：165-176.
1黄永东，男，博士，教授，硕士研究生导师。
2李秋富，男，2010级计算数学专业。
基于BVaR风险控制的投资组合选择模型
王艳彩1 高岳林2
摘 要：用BVaR代替VaR来度量风险，引入交易费用，建立了均值-BVaR多目标投资组合优化模型，给出了求解该模型的NSGA-II算法。用我国金融市场历史数据进行实证分析，表明算法是有效的，模型是合理的，交易费用对最优投资组合策略的确定有较大影响，提出的模型相对于均值-VaR实用性较强。
关键词：多目标投资组合；BVaR；交易费用；NSGA-II
1952年，Markowitz ［1］用方差来度量投资组合的风险，建立了著名的均值—方差模型，奠定了现代资产组合投资理论的基础。然而，方差并不能很好的度量组合的风险。风险价值（Value at Risk，VaR）是20世纪90年代发展起来的一种新的风险度量方法，已成为金融市场风险测量的主流方法。一些学者用VaR代替方差作为风险度量指标，建立了均值-VaR模型［2-4］。传统的投资组合选择模型总是假设市场处于正常波动，但现实情形往往不是这样。在贝叶斯方法中，投资者首先假定参数的先验分布，然后运用贝叶斯定理结合当前的样本信息得到参数的后验分布，资产收益率的分布并不依赖于给定的参数，而是在参数后验分布基础上构建出的预测分布。卢安文［5］等利用贝叶斯推断的方法度量了银行的操作风险，较好地解决了目前操作风险损失事件数据不足的问题。王恺明［6］等基于SGT分布，利用贝叶斯统计推断对风险价值进行研究，提高了VaR度量的准确性。因此，本文利用贝叶斯风险价值（Bayes Value at Risk，BVaR）来度量组合的风险，建立了一种新的投资组合选择模型——均值-BVaR模型，同时引入交易费用，并给出求解该模型的多目标遗传算法步骤，结合我国金融市场历史数据进行了实证研究。
1. Bayes风险价值的概念
1.1 风险价值VaR
VaR是指在市场正常波动下，某一金融资产或投资组合在未来特定的一段时间内和一定置信水平下可能发生的最大损失。设随机变量Y为资产在某时期的收益（或收益率），用F（y，θ）表示收益Y的分布，其中θ是未知参数或向量，表示影响资产收益的各种不确定的不可观测因素。在假定收益率分布的情况下，根据Jorion在其著作［7］中提出：VaR即为在一定目标时期内收益分布的分位数。
2.1 交易费用
交易费用是客观存在的，若忽略交易费用，很可能会导致决策失败。在此，我们考虑折线费用函数［9］。我国证券市场的交易费用主要包括委托手续费、佣金和过户费，其中委托手续费是固定的，而佣金和过户费是一个折线型函数，我们称其为比例交易费用。
3. 多目标遗传算法
遗传算法是模拟遗传选择和自然淘汰过程的计算机算法，是由美国Michigan大学Holland教授于1975年提出来的，是一种新的适应全局优化概率搜索算法［10］。近年来，遗传算法已被证明是处理多目标优化问题非常有效的方法。NSGA-II ［11］是Deb在非劣排序遗传算法（NSGA）的基础上于2002年提出的，它是在每一代，首先对种群P进行遗传操作，得到种群Q；然后将两种群合并，进行非劣排序和拥挤距离排序，形成新的种群P，反复进行直到结束。具体步骤［13］描述如下：
