为明确，我们首先以一维的信号为例说明小波算法。对于一维信号的小波变换就是用高通和低通小波滤波器分别对信号进行卷积，尺度函数对应的滤波器为低通滤波器，对于db2小波其滤波器的非零参数即为上面我们计算出的值，一般记为h(n)或hn，小波函数对应的滤波器为高通滤波，其参数可以通过低通滤波器的参数计算出来，记为g（n）或gn。而相应的重建滤波器即在前面加上I表示Ihn和Ign。
定理3db2小波滤波器参数之间的关系定理
定理中对每一个参数分母乘上2，是为了对参数进行归一化。对于滤波器与信号的卷积操作我们可以通过将滤波器参数反向而转化为内积操作。
设原始信号为{s(n)}，它被低通滤波器的滤波操作可用下式表示：
这里L为滤波器的长度，对于db2小波L=4；{s1(j)}为滤波以后的信号。根据Nyquist采样定理：
Fs（=1/Ts）≥2Fmax或Fs≥2Bs
式中：Ts为采样周期；
Fs为采样频率；
Fmax为原始信号的最高频率；
Bs（=Fmax-Fmin）为原始信号的带宽。
滤波后的信号带宽减少了一倍，因而我们对信号的采样频率也可减少一倍，所以对于滤波后得到的信号{s1(j)}我们可以对其进行下采样（Subsample），即只保留信号中的奇数位置上的点或偶数位置上的点，这样可以将信号的采样点减少一半，从而降低计算的复杂性。
下面我们用线性代数的方法来进行小波变换，虽然实际的信号采样点是有限的，但我们首先对理想的无限长度的信号进行讨论，采用的是db2小波。
在进行反变换时，我们用的滤波器对可从定理3中得到，其他不同类型的小波变换所用的方法与上面的方法基本类似，只是采用的滤波器参数的值和长度不同罢了。
对于有限的信号，以我们采用的db2小波对一共有八个采样点的一维信号进行正向变换为例，由于我们进行变换的信号采样点是有限的点，而滤波器长度为4所以在进行内积操作时在n-2的地方会超出信号的长度，这种效应在Haar小波中是不存在的，因为Haar小波的滤波器参数长度为2。
有限长度信号的小波反变换也存在这种边界问题：
在下面一节我们将对如何处理有限长度信号的边界问题进行一些讨论。
对于二维PET图像信号的处理与一维信号的处理相似，只是要分别对行像素和列像素用滤波器进行滤波。由于小波滤波器是成对使用的，如果行像素和列像素均采用低通滤波器滤波，得到的子图为概貌图像；如果行像素采用低通滤波器滤波而列像素采用高通滤波器滤波，得到的子图为水平细节（水平边缘）图像；如果行像素采用高通滤波器滤波而列像素采用低通滤波器滤波，得到的子图为垂直细节（垂直边缘）图像；如果行像素和列像素均采用高通滤波器滤波，得到的子图为对角细节（对角边缘）图像。
实际在进行PET图像的小波变换时，我们可以有以下两种分解方法：
第一种分解方法在滤波后未进行下采样的操作，因此每一次分解后的四个子图大小与原图像大小一样，四个子图像像素个数总和被扩大为原来图像的四倍，计算复杂度增加。根据采样定理滤波后各子图的带宽减小的原理，不需要采用与原图像相同的采样频率，因此采用这种方法给出的结果是含有冗余信息的。
第二种方法在对行和列进行滤波操作时均进行了下采样的操作，因此得到的各个子图像的大小都为原图像大小的1/4，而四个子图像像素的总和等于原图像的大小，这在信息表示是无冗余的，并且这种表示方法也不会丢失原图像的任何信息。我们在进行医学图像处理时，由于图像一般都比较大，计算速度是一个重要的算法评价指标，因此在本书中我们采用的是第二种分解方法。
8.6.3PET图像处理中小波变换的边界问题
仔细分析小波变换的算法可以发现，我们所要处理的原始真实离散信号S总是只有有限个非零点，而对实际信号实施小波分解时要进行下采样，在对分解后的信号进行合成时又要先实施插入零操作。本书所处理的PET图像信号也是一个长度有限的信号，它的边界效应也很严重，所以在进行小波变换时需要解决PET图像的有限边界问题。
目前，解决边界问题的方案大致有两类，一是假设非零样本点以外的点为零点；二是根据已知实际信号向外延拓。在图像处理领域，由于样本点的边界条件是固定不能改变的，为了能够重构原来的信号，即要使重构后的信号与原信号具有同样多样本点数，就必须考虑边界延拓问题。一般采用对称延拓技术，即假设信号关于信号两边缘的点对称。将延拓的信号用表示为：
对于非周期信号不论采用哪种延拓方案，都无法从采样截断得到数据延拓与被截断的实际信号相同的信号，因而经过小波分解或重构得到的信号的边界附近的点都会受到影响。受影响的样本点数与滤波器的选择直接相关。对于基于Daubechies所给出的滤波器系数，小波变换结果受影响的点数与滤波器的长度成正比关系，而且分别对离散逼近信号的右边界和离散细节信号的左边界接受边界效应的影响。通过上述分析可以看出，由于边界效应的影响，应用小波分析的信号不宜过短。另外因为受边界效应影响的点数随滤波器长度的增大而增多，所以边界效应的影响也应该作为选择小波基函数的一个考虑因素。在本书中由于图像信号的长度不会太长，为了尽量避免边界效应我们采用了滤波器长度较短的db2小波，这在前面已经介绍了。
8.6.4模拟PET图像的激活区提取结果与讨论
1.激活度为5%时的模拟计算结果
两个结果均是在检验水平为0.01的情况下得到的。比较这两幅图可以看出在这种条件下直接在空间域中检验得到的激活区域由于受噪声的影响，只得到一些孤立、杂乱的激活点，无法得到类似的激活区域。而采用小波域方法检验得到的结果已明显地形成了六个不同的激活区域，即使是半径为1的激活区域也被准确地检测到了。并且可以看到小波域上检验得到的激活区域大致是成片的，不像是一些孤立的点，这一优点是由小波变换的多尺度（Multi-scale）特性决定的，小波变换后的图像相当于是从大尺度上去观察一幅图，可以避免细节和高频噪声的影响，变换层数越多，尺度越大，这就像我们从远处看物体可以看到全貌，而看不见细节一样。
为比较两种方法对激活区检测的灵敏度，列出了在激活度为5%、噪声方差为0.001时不同检验水平下两种方法得到的结果中犯Ⅱ类错误的像素个数，即未被检测到的激活区域的像素个数。从表中可以看出在不同的检验水平下小波域方法犯Ⅱ类错误的像素个数均比空间域上的方法少，并且随着检验水平的上升小波域方法犯Ⅱ类错误的像素个数迅速下降。这说明小波域方法是一种灵敏的检测图像序列激活区的方法。
